Konzervatív erők. A gravitáció munkája

Vegye figyelembe a merevítő rugót k, amely kezdetben feszítetlen (szabad) állapotban van, amelyet D nyújt x(20.5. ábra) és számítsuk ki a rugalmas erő munkáját.

A Hooke-törvény szerint a rugalmas erő arányos a rugó alakváltozásával: , ahol |D x| – deformáció nagysága. Ráadásul a rugalmas erő a rugó deformációjával ellentétes irányban irányul, azaz. .

Készítsünk egy grafikont, ahol x– az alakváltozás nagysága (lásd 20.5. ábra): ez egy lineáris függvény grafikonja. A és közötti szög 180°, tehát a rugalmas erő által végzett munka negatív lesz. Ez a munka számszerűen megegyezik a területtel S háromszög OAV, de mínusz előjellel vettük:

. (22.3)

Olvasó. Megváltozik-e az eredmény, ha a rugót nem megfeszítik, hanem összenyomják egy D távolsággal x?

20.2 probléma.Tavaszi nyújtás(általános eset). Rugós merevség k= 200 N/m először D-re feszítve l 1 = 20 cm, majd még egyet a D-n l 2 = 5,0 cm Milyen munkát végeztek az első és a második esetben?

k= 200 N/m D l 1 = 20 cm = 0,20 m D l 2 = 5,0 cm = 0,050 m
A 1 = ? A 2 = ?
Rizs. 20.6

Megoldás. Ebben az esetben az erő iránya egybeesik az elmozdulással, így a munka pozitív. Készítsük el az erőfüggés grafikonját F, a rugó nyújtása, a deformáció nagyságán x(20.6. ábra). Munka a helyszínen D l 1 D területként számítható A 0BAN BEN:

Munka a helyszínen D l 2 egy trapéz területeként számítható ki ABCD, amely a geometriából ismeretes, az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzata:

.

A menetrend szerint találjuk AB = F 1 = k D l 1 ; CD = F 2 = k(D l 1+D l 2); Nap= D l 2 .

Helyettesítsük a számértékeket:

= × (2 × 0,20 m + 0,050 m) × 0,050 m "

Válasz: A 1 » 4,0 J; A 2 » 2,3 J.

ÁLLJ MEG! Döntse el Ön: A5, A6, B6, B7, C1.

20.3. probléma. Tömegterhelés m= 3,0 t csörlő emeli fel gyorsulással A= 2,0 m/s2. Határozza meg az elsőben végzett munkát t = 2,0 s az emelkedés kezdetétől.

3,0 × 10 3 kg × (9,8 m/s 2 + 2,0 m/s 2)

141600 J » 0,14 MJ.

Válasz: » 0,14 MJ.

ÁLLJ MEG! Döntse el Ön: B8, C2.

20.4. probléma. Vízszintes felületen fekvő tömegtömbhöz m= 12 kg rugómerevség csatlakoztatva k= 300 N/m. A tömb és a felület közötti súrlódási együttható m = 0,40. Először a rugó nem deformálódik. Ezután vízszintes erővel a rugó szabad végére lassan elmozdította a blokkot egy bizonyos távolságra s= 0,40 m Milyen munkát végzett az erő? Elfogad g= 10 m/s 2.

akkor a blokk a helyén marad, és a rugó is nyújtás (20.8. ábra, b). Következésképpen, mielőtt a blokk elkezdene mozogni, az erő meg fogja feszíteni a rugót D távolságra x.

Kérdések

1. Hogyan kapcsolódik egy test potenciális energiája a gravitáció által végzett munkához?

2. Hogyan változik egy test potenciális energiája, ahogy felfelé halad?

3. Változik-e a potenciális energia, ha egy test párhuzamosan mozog a Föld felszínével?

4.Mi a nulla szint?

25. gyakorlat

1. Egy 2,5 kg súlyú teher leesik 10 m magasságból Mennyire változik meg a potenciális energiája 1 másodperccel az esés kezdete után? A terhelés kezdeti sebessége nulla.

2. Mennyi munkát végez a gravitáció, ha egy 75 kg súlyú ember felmászik a lépcsőn a ház bejáratától a 6. emeletig, ha minden emelet magassága 3 m?

3. Az alpesi síverseny rajt- és célhelye közötti magasságkülönbség 400 m. A szlalomozó elfogadja a rajtot és biztonságosan célba ér. Milyen munkát végez a gravitáció, ha a szlalomista rajt előtti tömege 70 kg?

4. A síverseny útvonalának célpontja 2000 m tengerszint feletti magasságban, a kiindulópont a célpont feletti 400 m magasságban van. Mekkora a síelő potenciális energiája a rajtnál a célponthoz és a tengerszinthez viszonyítva? Síelő súlya 70 kg.

A rugalmas erő az az erő, amely akkor lép fel, amikor egy test deformálódik. A rugalmas erő példájaként célszerű egy rugó rugalmas erejét figyelembe venni, bár a rugóra megállapított összes törvény más deformált testekre is vonatkozik. A rugalmas erő arányos az alakváltozással, különösen a rugó megnyúlásával. A deformáció során a testrészecskék elmozdulásával ellentétes irányba irányul.

A 141. ábrán A A rugó természetes, deformálatlan állapotában látható. A rugó jobb vége rögzítve van, a balhoz pedig valamilyen test van rögzítve. Irányítsuk a koordinátatengelyt x a képen látható módon. Ha egy rugót összenyomunk a bal végének jobbra mozgatásával X 1, ekkor balra irányított rugalmas erő jelenik meg (141.6. ábra). Ennek az erőnek a vetülete a tengelyre x egyenlő - kx 1, Ahol k- rugó merevsége.

Hagyjuk most a rugót magára. Ezután a tavasz vége balra mozdul el. E mozgás során a rugalmas erő működik.

Tegyük fel, hogy a rugó bal vége (és a hozzá kapcsolódó test) elmozdult a pozícióból A pozicionálni BAN BEN(141. ábra, c). Ebben a helyzetben a rugó deformációja (nyúlása) már nem egyenlő x 1, A x 2. A rugó végének elmozdulása megegyezik a rugó végének koordinátáinak különbségével:

X 1 - X 2.

Az erő és az elmozdulás iránya egybeesik, és ahhoz, hogy munkát találjon, meg kell szoroznia a rugalmas erő és az elmozdulás modulusait. De a rugalmas erő mozgás közben pontról pontra változik, mert a rugó nyúlása változik: egy ponton A a rugalmas erő modulusa egyenlő kx 1, azon a ponton BAN BEN- kx2. A rugalmas erő munkájának kiszámításához fel kell venni a rugalmas erő átlagos értékét, és meg kell szorozni az elmozdulással:

A = F cp (x 1 -x 2).

A rugalmas erő átlagos értéke egyenlő a kezdeti és a végső érték összegének felével:

(x 1 - x 2)

Mert (x l + x 2) (x 1 - x 2) = x 2 1 - x 2 2, akkor a munka egyenlőnek bizonyul

A munka, amint ebből a képletből is látható, csak a koordinátáktól függ x 1És x 2 tavasz végének kezdeti és végső pozíciói (x 1És x 2- ezek a rugó meghosszabbítása és a végének koordinátái is).

Érdekes módon a működési képlet nem tartalmazza a rugóra rögzített test tömegét. De a rugalmas erő nem függ a test tömegétől, amelyre alkalmazzák. Korábban már utaltunk rá, hogy ez a rugalmas erő sajátossága.

Egy deformált test potenciális energiája.

Az (1) képlet a rugalmas erő munkájára (a jobb oldali tagok sorrendjének átrendezésével) a következő formában írható fel:

Itt az egyenlet jobb oldalán

költségeket változás mennyiségeket -2- mínusz jellel.

Az előző bekezdésben az érték mgh, amelynek változása (ellentétes előjellel) egyenlő a gravitáció munkájával, a felemelt test potenciális energiájának neveztük. Ugyanaz a név adható

a kx 2 /2 érték, mivel ennek változása és ellenkező előjellel is egyenlő a munkával. A kx 2 /2 érték egy deformált test, különösen egy rugó potenciális energiáját jelenti.

A (2) képlet azt jelenti a rugalmas erő munkája megegyezik egy rugalmasan deformált test (rugó) potenciális energiájának változásával, ellenkező előjellel.

A rugalmas erő munkája a gravitációhoz hasonlóan csak a szabad vég kezdeti és végső koordinátáitól függ, például egy rugótól (a x 1 előtt x 2). Ezért ugyanaz mondható el róla, mint a gravitáció munkájáról - ez a munka nem függ a pálya alakjától. És ha a pálya zárt, akkor a munka nulla.

Ha egy deformálatlan rugó végének helyzetét vesszük koordináta origónak, és a rugót meghosszabbítjuk X, akkor a (2) képlet a következő alakot veszi fel:

De kx 2 /2 a test (rugó) potenciális energiája a nyúlás során X. Eszközök, egy deformált test potenciális energiája egyenlő azzal a munkával, amelyet a rugalmas erő végez a test (rugó) olyan állapotba való átmenete során, amelyben deformációja nulla. A gravitáció által érintett test potenciális energiájáról azt mondtuk, hogy ez a kölcsönhatás energiája. A rugalmasan deformált test potenciális energiája egyben kölcsönhatási energia is. De most ez a testet alkotó részecskék közötti kölcsönhatás energiája. Ez vonatkozik a tavaszra is. A rugó tekercsei és az anyag részecskéi, amelyekből készült, kölcsönhatásba lépnek benne.

1. Mekkora a rugalmas erő átlagos értéke?

2. Milyen hasonlóságok vannak a rugalmas erő és a gravitációs munka kifejezései között?

3. Mekkora munkát végez a rugalmas erő, ha a test, amelyre hat, bizonyos távolság megtétele után visszatér kiindulópontjába?

4. Lehet-e egy egyensúlyi állapotban lévő testnek potenciális energiája?

5. Lehet-e potenciális energiája egy testnek, amelyre semmilyen erő nem hat?

6. Mekkora a rugalmasan deformált test potenciális energiája?

7. Mi a közös a deformált test és a gravitációnak kitett test potenciális energiáiban?

26. gyakorlat

1. A fiú megállapította, hogy a maximális erő, amellyel meg tudja feszíteni a fékpadot, 400 N. Milyen munkát végez ez az erő a próbapad nyújtásakor? A próbapad rugómerevsége 10 000 N/m.

2. Egy 18 kg súlyú testet felfüggesztünk egy rugóra, melynek felső vége rögzített. Ebben az esetben a rugó hossza 10 cm Ha egy 30 kg súlyú testet függesztünk fel, akkor a hossza 12 cm a munkát a rugalmas erő végzi?

3. A 142. ábra a rugó összenyomásakor keletkező rugalmas erőt mutatja a deformáció függvényében. Ezzel a grafikonnal számítsa ki a külső erő által végzett munkát, amikor a rugó 2 cm-rel összenyomódik. Bizonyítsa be, hogy ez a munka numerikusan egyenlő a háromszög területével AOB.

4. Két ugyanolyan merevségű rugó van. Az egyiket 5 cm-rel összenyomják, a másikat 5 cm-rel megnyújtják. Hogyan különböznek ezeknek a rugóknak a nyúlásai és potenciális energiái?

5. A rugós mérlegre teher függesztve van. Ugyanakkor a terhelés lecsökkent és a skála nyíl megállt a 3-as számnál. Mennyivel nőtt meg a skálarugó potenciális energiája, ha a skála beosztása Newtonban van, és a szomszédos osztások távolsága 5 mm!

5. Egy összenyomott rugó, melynek merevsége 10 000 N/m, 400 N erővel hat a ráerősített testre. Mekkora a rugó potenciális energiája? Mennyi munkát végzett a külső erő az összenyomódása során? Mennyi munkát fog végezni a rugó rugalmas ereje, ha lehetőséget kap az eredeti alak visszaállítására?

Rizs. 142

A mindennapi életben gyakran találkozunk olyan fogalommal, mint a munka. Mit jelent ez a szó a fizikában, és hogyan határozható meg a rugalmas erő működése? Ezekre a kérdésekre megtalálja a választ a cikkben.

Gépészeti munka

A munka egy skaláris algebrai mennyiség, amely az erő és az elmozdulás kapcsolatát jellemzi. Ha a két változó iránya egybeesik, akkor a következő képlettel számítjuk ki:

• F- a munkát végző erővektor modulja;
• S- eltolási vektor modul.

A testre ható erő nem mindig működik. Például a gravitáció által végzett munka nulla, ha annak iránya merőleges a test mozgására.

Ha az erővektor az eltolásvektorral nullától eltérő szöget zár be, akkor egy másik képletet kell használni a munka meghatározásához:

A=FScosα

α - az erő- és az elmozdulásvektorok közötti szög.

Eszközök, gépészeti munka az erőnek az elmozdulás irányára vetületének és az elmozdulási modulnak a szorzata, vagy az elmozdulás erőirányra vetített vetületének és ezen erő moduljának szorzata.

Gépészeti munka jele

A test mozgásához viszonyított erő irányától függően az A munka lehet:

• pozitív (0°≤ α<90°);
• negatív (90°<α≤180°);
• egyenlő nullával (α=90°).

Ha A>0, akkor a test sebessége nő. Ilyen például az alma, amely a fáról a földre esik. A<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Az SI (International System of Units) munkaegysége Joule (1N*1m=J). A joule egy olyan erő által végzett munka, amelynek értéke 1 Newton, amikor egy test 1 métert elmozdul az erő irányába.

A rugalmas erő munkája

Az erő munkája grafikusan is meghatározható. Ehhez számítsa ki a görbe vonalú ábra területét az F s (x) grafikon alatt.

Így a rugalmas erőnek a rugó nyúlásától való függésének grafikonjából levezethető a rugalmas erő hatásának képlete.

Ez egyenlő:

A=kx 2 /2

• k- merevség;
• x- abszolút nyúlás.

Mit tanultunk?

A mechanikai munkát akkor hajtják végre, amikor a testre olyan erőt fejtenek ki, amely a test mozgásához vezet. Az erő és az elmozdulás közötti szögtől függően a munka lehet nulla, vagy negatív vagy pozitív előjelű. A rugalmas erő példáján megismerhetett egy grafikus módszert a munka meghatározására.

« Fizika - 10. osztály"

Számítsuk ki a gravitáció által végzett munkát, amikor egy test (például egy kő) függőlegesen lefelé esik.

Az idő kezdeti pillanatában a test hx magasságban volt a Föld felszíne felett, az utolsó pillanatban pedig - h 2 magasságban (5.8. ábra). Test elmozdulási modul |Δ| = h 1 - h 2 .

A T gravitációs vektorok és a Δ elmozdulás iránya egybeesik. A munka definíciója szerint (lásd (5.2) képlet) megvan

A = | T | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2. (5.12)

Most engedjük a testet függőlegesen felfelé dobni a Föld felszíne feletti h 1 magasságban lévő pontból, és eléri a h 2 magasságot (5.9. ábra). A T és Δ vektorok ellentétes irányúak, és az eltolási modul |Δ| = h 2 - h 1 . A gravitáció munkáját a következőképpen írjuk fel:

A = | T | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2. (5.13)

Ha a test egyenes vonalban mozog úgy, hogy a mozgás iránya a szöget zár be a gravitáció irányával (5.10. ábra), akkor a gravitáció munkája egyenlő:

A = | T | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

A BCD derékszögű háromszögből jól látható, hogy |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Ennélfogva,

A = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2. (5.14)

Ez a kifejezés egybeesik az (5.12) kifejezéssel.

Az (5.12), (5.13), (5.14) képletek egy fontos szabályszerűség észrevételét teszik lehetővé. Amikor egy test egyenes vonalban mozog, a gravitáció által végzett munka minden esetben egyenlő a test helyzetétől függő mennyiség két értékének különbségével, amelyet a Föld feletti h 1 és h 2 magasság határozza meg. felület.

Ezenkívül a gravitáció által végzett munka, amikor egy m tömegű testet mozgat egyik pozícióból a másikba, nem függ a pálya alakjától, amelyen a test mozog. Valóban, ha egy test a BC görbe mentén mozog (5.11. ábra), akkor ezt a görbét egy lépcsőzetes vonal formájában ábrázolva, amely rövid hosszúságú függőleges és vízszintes szakaszokból áll, látni fogjuk, hogy a vízszintes szakaszokon a gravitáció munkája nulla, mivel az erő merőleges a mozgásra, és a függőleges szakaszokban végzett munka összege megegyezik azzal a munkával, amelyet a gravitáció végezne, ha egy testet egy h 1 - h 2 hosszúságú függőleges szegmens mentén mozgatna. Így a gravitáció által végzett munka a BC görbe mentén haladva egyenlő:

A = mgh 1 - mgh 2.

A gravitáció munkája nem függ a pálya alakjától, hanem csak a pálya kezdő- és végpontjának helyzetétől.

Határozzuk meg az A munkát, amikor egy testet zárt kontúron mozgatunk, például a BCDEB kontúr mentén (5.12. ábra). Dolgozzuk meg az A 1-et gravitációval, amikor testet mozgatunk B pontból D pontba a BCD pálya mentén: A 1 = mg(h 2 - h 1), a DEB pálya mentén: A 2 = mg(h 1 - h 2).

Ekkor az összmunka A = A 1 + A 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

Amikor egy test zárt pályán mozog, a gravitáció által végzett munka nulla.

Tehát a gravitáció munkája nem függ a test pályájának alakjától; csak a test kezdeti és végső helyzete határozza meg. Amikor egy test zárt pályán mozog, a gravitáció által végzett munka nulla.

Azokat az erőket, amelyek munkája nem függ az erő alkalmazási pontjának pályájának alakjától, és zárt pálya mentén nullával egyenlő, ún. konzervatív erők.

A gravitáció konzervatív erő.