Rovnice s parametry. Soustavy rovnic s parametrem Řešení soustavy s parametrem online
1. Soustavy lineárních rovnic s parametrem
Soustavy lineárních rovnic s parametrem se řeší stejnými základními metodami jako obyčejné soustavy rovnic: substituční metodou, metodou sčítání rovnic a grafickou metodou. Znalost grafické interpretace lineárních systémů umožňuje snadno odpovědět na otázku o počtu kořenů a jejich existenci.
Příklad 1
Najděte všechny hodnoty pro parametr a, pro který soustava rovnic nemá řešení.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
Řešení.
Podívejme se na několik způsobů, jak tento úkol vyřešit.
1 způsob. Použijeme vlastnost: soustava nemá řešení, jestliže poměr koeficientů před x je roven poměru koeficientů před y, ale není roven poměru volných členů (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Pak máme:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 nebo systém
(a 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
Z první rovnice a 2 = 4 tedy při zohlednění podmínky a ≠ 2 dostaneme odpověď.
Odpověď: a = -2.
Metoda 2.Řešíme substituční metodou.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
Po odebrání společného faktoru y ze závorek v první rovnici dostaneme:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Systém nemá řešení, pokud první rovnice nemá řešení, tzn
(a 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Je zřejmé, že a = ±2, ale vezmeme-li v úvahu druhou podmínku, odpověď přichází pouze se zápornou odpovědí.
Odpovědět: a = -2.
Příklad 2
Najděte všechny hodnoty pro parametr a, pro který má soustava rovnic nekonečný počet řešení.
(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.
Řešení.
Podle vlastnosti, je-li poměr koeficientů x a y stejný a roven poměru volných členů soustavy, pak má soustava nekonečně mnoho řešení (tj. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Proto 8/a = a/2 = 2/1. Řešením každé z výsledných rovnic zjistíme, že a = 4 je v tomto příkladu odpověď.
Odpovědět: a = 4.
2. Soustavy racionálních rovnic s parametrem
Příklad 3
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Řešení.
Vynásobme první rovnici soustavy 2:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
Odečtením druhé rovnice od první dostaneme 5|x| = 4 – a. Tato rovnice bude mít jednoznačné řešení pro a = 4. V ostatních případech bude mít tato rovnice dvě řešení (pro a< 4) или ни одного (при а > 4).
Odpověď: a = 4.
Příklad 4.
Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které má systém rovnic jedinečné řešení.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Řešení.
Tento systém vyřešíme pomocí grafické metody. Grafem druhé rovnice systému je tedy parabola zvednutá podél osy Oy nahoru o jeden jednotkový segment. První rovnice určuje množinu přímek rovnoběžných s přímkou y = -x (obrázek 1). Z obrázku je jasně vidět, že systém má řešení, jestliže přímka y = -x + a je tečnou k parabole v bodě se souřadnicemi (-0,5, 1,25). Dosazením těchto souřadnic do rovnice přímky místo x a y zjistíme hodnotu parametru a: 
1,25 = 0,5 + a;
Odpověď: a = 0,75.
Příklad 5.
Pomocí substituční metody zjistěte, při jaké hodnotě parametru a má systém jedinečné řešení.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2) y = 2.
Řešení.
Z první rovnice vyjádříme y a dosadíme je do druhé:
(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2) (ax – a – 1) = 2.
Zredukujeme druhou rovnici na tvar kx = b, která bude mít jednoznačné řešení pro k ≠ 0. Máme:
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Čtvercový trojčlen a 2 + 3a + 2 představujeme jako součin závorek
(a + 2)(a + 1) a vlevo vyjmeme x ze závorek:
(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).
Je zřejmé, že a 2 + 3a by se nemělo rovnat nule, proto,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, což znamená a ≠ 0 a ≠ -3.
Odpovědět: a ≠ 0; ≠ -3.
Příklad 6.
Pomocí metody grafického řešení určete, při jaké hodnotě parametru a má systém jedinečné řešení.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Řešení.
Na základě podmínky sestrojíme kružnici se středem v počátku a poloměrem 3 jednotkových segmentů, to je to, co určuje první rovnice systému
x 2 + y 2 = 9. Druhá rovnice soustavy (y = |x| + a) je přerušovaná čára. Používáním obrázek 2 Zvažujeme všechny možné případy jeho umístění vzhledem ke kružnici. Je snadné vidět, že a = 3. 
Odpověď: a = 3.
Máte ještě otázky? Nevíte, jak řešit soustavy rovnic?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Rovnice formuláře F(X; A) = 0 se nazývá rovnice s proměnnou X a parametr A.
Řešte rovnici s parametrem A– to znamená pro každou hodnotu A najít hodnoty X, splňující tuto rovnici.
Příklad 1 Ach= 0
Příklad 2 Ach = A
Příklad 3
x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
Pokud 1- A= 0, tj. A= 1, tedy X 0 = -2 žádné kořeny
Pokud 1- A 0, tzn. A 1, tedy X =
Příklad 4.
(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)
Li A= 1, pak 0 X = 0
X– libovolné reálné číslo
Li A= -1, pak 0 X = -2
žádné kořeny
Li A 1, A-1 tedy X= (jediné řešení).
To znamená, že pro každou platnou hodnotu A odpovídá jedné hodnotě X.
Například:
Li A= 5 tedy X = = ;
Li A= 0, tedy X= 3 atd.
Didaktický materiál
1. Ach = X + 3
2. 4 + Ach = 3X – 1
3. A = +
na A= 1 bez kořenů.
na A= 3 žádné kořeny.
na A = 1 X– jakékoli reálné číslo kromě X = 1
na A = -1, A= 0 žádná řešení.
na A = 0, A= 2 žádná řešení.
na A = -3, A = 0, 5, A= -2 žádná řešení
na A = -S, S= 0 žádná řešení.
Kvadratické rovnice s parametrem
Příklad 1 Vyřešte rovnici
(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0
Na A = 1 6X + 7 = 0
Když A 1, zvýrazníme ty hodnoty parametrů, při kterých D jde na nulu.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
Li A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Li A> -4/5 a A 1, tedy D > 0,
X = 
Li A= 4/5 tedy D = 0,
Příklad 2 Při jakých hodnotách parametru a platí rovnice
x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 má 2 různé záporné kořeny?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
přes t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5
Podle stavu X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0
| Nakonec | 4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0 |
A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9 |
 (Rýže. 1) < A < 1, либо A > 6 |
Příklad 3 Najděte hodnoty A, pro kterou má tato rovnice řešení.
x 2 – 2( A – 1)X + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 nebo A – 4 = 0
A = 4
(Rýže. 2)
Odpovědět: A 0 a A 4
Didaktický materiál
1. V jaké hodnotě A rovnice Ach 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 má jeden kořen?
2. V jaké hodnotě A rovnice ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 má jeden kořen?
3. Pro jaké hodnoty a je rovnice ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0 má více než dva kořeny?
4. Pro jaké hodnoty a, rovnice 2 X 2 + X – A= 0 má alespoň jeden společný kořen s rovnicí 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Pro jaké hodnoty rovnice X 2 +Ach+ 1 = 0 a X 2 + X + A= 0 má alespoň jeden společný kořen?
1. Kdy A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Kdy A = 0
3. Kdy A = 2
4. Kdy A = 10
5. Kdy A = - 2
Exponenciální rovnice s parametrem
Příklad 1.Najděte všechny hodnoty A, pro který platí rovnice
9x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) má právě dva kořeny.
Řešení. Vynásobením obou stran rovnice (1) 3 2/x získáme ekvivalentní rovnici
3 2(x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)
Nechť 3 x+1/x = na, pak rovnice (2) bude mít tvar na 2 – (A + 2)na + 2A= 0, nebo
(na – 2)(na – A) = 0, odkud na 1 =2, na 2 = A.
Li na= 2, tzn. 3 x+1/x = 2 tedy X + 1/X= log 3 2 , popř X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Tato rovnice nemá žádné skutečné kořeny D= log 2 3 2 – 4< 0.
Li na = A, tj. 3 x + 1 / x = AŽe X + 1/X= log 3 A nebo X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Rovnice (3) má právě dva kořeny tehdy a jen tehdy
D = log 2 3 2 – 4 > 0, nebo |log 3 a| > 2.
Pokud log 3 a > 2, pak A> 9, a pokud log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Odpověď: 0< A < 1/9, A > 9.
Příklad 2. Při jakých hodnotách a je rovnice 2 2x – ( A - 3) 2 x – 3 A= 0 má řešení?
Aby daná rovnice měla řešení, je nutné a postačující, aby rovnice t 2 – (a – 3) t – 3A= 0 měl alespoň jeden kladný kořen. Pojďme najít kořeny pomocí Vietovy věty: X 1 = -3, X 2 = A = >
a je kladné číslo.
Odpověď: kdy A > 0
Didaktický materiál
1. Najděte všechny hodnoty a, pro které platí rovnice
25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 má přesně 2 řešení.
2. Pro jaké hodnoty a je rovnice
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 má jeden kořen?
3. Při jakých hodnotách parametru a platí rovnice
4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0 má jedinečné řešení?
Logaritmické rovnice s parametrem
Příklad 1 Najděte všechny hodnoty A, pro který platí rovnice
log 4x (1+ Ach) = 1/2 (1)
má unikátní řešení.
Řešení. Rovnice (1) je ekvivalentní rovnici
1 + Ach = 2X na X > 0, X 1/4 (3)
X = na
ay 2 – na + 1 = 0 (4)
Podmínka (2) z (3) není splněna.
Nechat A 0, tedy AU 2 – 2na+ 1 = 0 má skutečné kořeny tehdy a jen tehdy D = 4 – 4A 0, tj. na A 1.Abychom vyřešili nerovnost (3), nakreslete funkce Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium průběhu algebry a matematické analýzy. – M.: Vzdělávání, 1990
Poznámka. V uvedeném příkladu skončil výpočet všech determinantů zobrazením ve formě součinu faktorů, z nichž jeden (13) byl při dělení redukován. Tato situace je velmi častá. Proto není třeba spěchat s násobením faktorů, i když se nejčastěji neruší.
Problém 4.4. Řešte soustavy rovnic pomocí Cramerova pravidla:
1 + 4 x 2 + x 3 = 21 |
1 + x 2 − x 3 = 2 |
2x 1 + x 2 + x 3 = 7 |
||||
3x 2 − 3x3 = 1 |
||||||
1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27 |
3) x1 + 4x2 − 5x3 |
|||||
3x2 + 2x3 = 19 |
− 2x2 + 3x3 = 7 |
|||||
4x1 + 10x2 − x3 |
||||||
Řešení výše uvedených problémů ukazuje, že Cramerovy vzorce představují jednotnou a pohodlnou metodu pro hledání řešení soustav lineárních rovnic.
Poznámka: Použití Cramerových vzorců je značně zjednodušeno, pokud potřebujete najít pouze jednu z neznámých: v tomto případě stačí počítat pouze dva determinanty.
2.4.4. Soustavy rovnic s parametry
Výše byly uvažovány soustavy lineárních algebraických rovnic s pevnými koeficienty pro neznámé a pravé strany rovnic. V praktických problémech velmi často tyto koeficienty a hodnoty pravých stran nejsou přesně známy. Proto je nutné analyzovat vliv těchto parametrů na řešení systémů.
Příklad 4.5. Zkoumejte závislost řešení na soustavě rovnic
3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b
z parametrů a a b.
Zde na parametrech závisí pouze pravá strana rovnic. Protože
27 − 40 = − 13 ≠ 0 |
|||||||
K nalezení řešení můžete použít Cramerovy vzorce. My máme:
∆1 |
9a − 8b, ∆ 2 |
3b-5a |
||||||
x = x |
= ∆ 1 |
9a-8b |
8b-9a |
Y=x |
∆ 2 = |
5a-3b |
||||||||||||||||
− 13 |
||||||||||||||||||||||
Dosazením se ujistíme, že výsledné řešení je správné: |
||||||||||||||||||||||
8b-9a |
5a-3b |
a(− 27 + 40) |
B(24 − 24) |
|||||||||||||||||||
8b-9a |
5a-3b |
a(− 45 + 45) |
− 27) |
|||||||||||||||||||
Konkrétně, je-li a = 11, b = 14, dostaneme: x = |
8×14 − 9×11 |
1 a y = 1. |
||||||||||||||||||||
y(a, b)
x(a, b)
Každá dvojice parametrů aab tedy odpovídá jedinečné dvojici čísel x a y, která vyhovuje danému systému rovnic. To znamená, že řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice a dvě funkce dvou proměnných (parametry a a b). Obě funkce jsou definovány pro libovolné hodnoty těchto parametrů a závisí lineárně na nezávislých proměnných a a b. Navíc x monotónně roste
funkce tání b a monotónně klesající funkce a, |
- naopak, |
||||
rostoucí funkce a a monotónně klesající funkce b. |
|||||
Problém 4.5. Najít řešení soustav rovnic |
|||||
8 x + 5 y = 2 a + 1 |
4 x + 9 y = a + b |
9x + 4 roky |
|||
3 x + 2 y = a |
3 x + 8 y = 3 a − b |
8 x + 3 roky |
|||
a prozkoumat závislost jejich řešení na parametrech aab. Doporučení. Vyneste výsledná řešení x (a, b) a y (a, b)
jako funkce proměnných parametrů aab. Vysvětlete, proč ve všech úlohách závisí řešení lineárně na parametrech aab.
Příklad 4.6. Zkoumejte závislost řešení na soustavě rovnic
(a + 3) x + 2 ay = 5 |
|||||
z parametrů a a b. |
x + 5 y = b |
||||
V tomto příkladu závisí koeficienty pro neznámé na parametru |
|||||
a , a pravé strany jsou z parametru b . |
|||||
Pojďme najít determinant matice koeficientů pro neznámé: |
|||||
a + 3 2 |
5(a + 3) − 2a = 3(a + 5) |
||||
Tento determinant se nerovná nule pouze tehdy, když a ≠ − 5. Proto lze Cramerovy vzorce použít pouze tehdy, když a ≠ − 5. V tomto případě:
∆1 = |
25 − 2ab , ∆ 2 = |
a+3 |
Ab + 3b − 5 |
|||||||
x = x |
25 − 2ab |
y = x |
3 b − 5 + ab |
|||
3(a+5) |
3(a+5) |
|||||
Uvažujme samostatně případ a = − 5. Pak je původní systém:
− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b
− 5 − c x = c , y = 2
Samozřejmě existuje libovolnost ve výběru hodnoty kterékoli z neznámých a řešení lze také zapsat ve tvaru:
x = − 5 2 − 5 c , y = c
Závislost na parametru koeficientů pro neznámé původní soustavy tedy může vést k absenci řešení nebo k přítomnosti nekonečného počtu řešení. Zjištěná skutečnost je zobecněním toho, co bylo dříve známo pro jednu rovnici ax = b a pro soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými.
Poznámka 1. Zavedení konstanty c do řešení soustavy rovnic se podobá libovůli ve volbě integrační konstanty.
Poznámka 2 Uvažovaný příklad ukazuje, že stejně jako pro jednu rovnici jsou pro lineární algebraické systémy s velkým počtem rovnic a neznámých možné pouze tři různé případy: jediné řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení.
Problém 4.6. Prozkoumejte řešení soustavy rovnic:
4 x + 5 ay = 2 a |
4 x + 5 ay = 2 a |
4 x + 5 ay = 2 a |
||||
8 x + 10 let |
8 x + 10 let |
8 x + 10 y = b |
||||
Problém 4.7. Vymyslete si vlastní systém dvou algebraických rovnic se dvěma neznámými a dvěma parametry a studujte jej v závislosti na hodnotách parametrů.
Otázky pro sebeovládání
1) Co je moll determinantního prvku?
2) Jaký je rozdíl mezi algebraickým doplňkem a vedlejším prvkem determinantu?
3) Co je to přidružená matice?
4) Jak najít adjungovanou matici pro danou matici?
5) Jaké je pořadí adjungované matice?
6) V jakém případě inverzní matice neexistuje?
7) Která matice se nazývá nesingulární?
8) Za jakých podmínek lze Cramerovy vzorce použít?
9) Jaké je řešení soustavy lineárních algebraických rovnic?
10) Jaké determinanty jsou zahrnuty v Cramerových vzorcích?
11) Kdy závisí determinanty na parametrech?
12) Může být součin adjungované matice a původní matice skalární matice?
13) Jak přeuspořádání faktorů ovlivní výsledek při násobení adjungované a původní matice?
14) Jaké jsou Cramerovy vzorce?
15) Za jakých podmínek lze nalézt řešení soustavy lineárních algebraických rovnic pomocí Cramerova pravidla (vzorců)?
Řešme soustavu rovnic s parametrem (A. Larin, možnost 98)
Najděte všechny hodnoty parametru, pro každou z nich systém
má přesně jedno řešení.
Pojďme se na systém podívat blíže. V první rovnici systému je levá strana , a pravá strana nezávisí na parametru. To znamená, že tuto rovnici můžeme považovat za rovnici funkce
a můžeme tuto funkci vykreslit.
Druhá rovnice soustavy
závisí na parametru a výběrem úplného čtverce na levé straně rovnice získáme rovnici kruhu.
Má tedy smysl vykreslit grafy každé rovnice a zjistit, při jaké hodnotě parametru mají tyto grafy jeden průsečík.
Začněme první rovnicí. Nejprve otevřeme moduly. Abychom to udělali, srovnáme každý submodulární výraz s nulou, abychom našli body, ve kterých se znaménko mění.
První submodulární výraz změní znaménko at , druhý - at .
Vynesme tyto body na souřadnici a najdeme znaménka každého submodulárního výrazu na každém intervalu:
Všimněte si, že pro a rovnice nedává smysl, takže tyto body prorazíme.
Nyní rozbalme moduly na každém intervalu. (Pamatujte si: pokud je submodulární výraz větší nebo roven nule, pak modul rozšíříme se stejným znaménkem, a pokud je menší než nula, pak s opačným znaménkem.)
Oba submodulární výrazy jsou záporné, proto oba moduly rozšiřujeme s opačným znaménkem:
Tedy když má původní funkce tvar
V tomto intervalu je první submodulární výraz záporný a druhý kladný, takže získáme:
- funkce na tomto intervalu neexistuje.
3. title="x>2">!}
Na tomto intervalu jsou oba submodulární výrazy kladné, oba moduly rozšiřujeme stejným znaménkem. Dostaneme:
To znamená, že s title="x>2"> исходная функция имеет вид !}
Máme tedy graf funkce
Nyní se podívejme na druhou rovnici:
Vyberme celý čtverec na levé straně rovnice; k tomu přidejte číslo 4 na obě strany rovnice:
Pro konkrétní hodnotu parametru je grafem této rovnice kružnice se středem v bodě se souřadnicemi, jehož poloměr je 5. Pro různé hodnoty máme řadu kružnic:
Posouváme kruh zdola nahoru, dokud se nedotkne levé strany grafu první funkce. Na obrázku je tento kruh červený. Střed této kružnice je bod, jeho souřadnice jsou (-2;-3). Dále, při pohybu nahoru má kružnice jeden průsečík s levou stranou funkčního grafu, to znamená, že systém má jedinečné řešení.
Pokračujeme v pohybu kruhu nahoru, dokud se nedotkne pravé strany grafu první funkce. To se stane, když je střed kruhu v bodě se souřadnicemi (-2;0) - na obrázku je tento kruh modrý.
Při dalším pohybu nahoru bude kružnice protínat levou i pravou část grafu první funkce, to znamená, že kružnice bude mít dva průsečíky s grafem první funkce a systém bude mít dvě řešení. Tato situace pokračuje, dokud střed kruhu není v bodě se souřadnicemi (-2; 5) - tento kruh je zelený. V tomto bodě se kružnice dotýká levé strany grafu a protíná pravou. To znamená, že systém má jedno řešení.
Systém má tedy jedinečné řešení kdy(-3;0]; pokud jsou hodnoty parametru a více než jedna, pak bude mít rovnice dva kořeny.
Máte ještě otázky? Nevíte, jak řešit rovnice s parametrem?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
