Konzervativní síly. Práce gravitace

Zvažte tuhost pružiny k, který je zpočátku v nenataženém (volném) stavu, který je natažen D X(obr. 20.5) a vypočítejte práci pružné síly.

Podle Hookova zákona je pružná síla úměrná deformaci pružiny: , kde |D X| – velikost deformace. Navíc elastická síla směřuje opačně k deformaci pružiny, tzn. .

Sestavme graf kde X– velikost deformace (viz obr. 20.5): jedná se o graf lineární funkce. Úhel mezi a je 180°, takže práce vykonaná pružnou silou bude záporná. Tato práce se číselně rovná ploše S trojúhelník OAV, ale se znaménkem mínus:

. (22.3)

Čtenář. Změní se výsledek, pokud pružina nebude natažena, ale stlačena o vzdálenost D X?

Problém 20.2.Pružné protažení(obecný případ). Tuhost pružiny k= 200 N/m nejprve nataženo na D l 1 = 20 cm a pak další na D l 2 = 5,0 cm Jaká práce byla provedena v prvním a druhém případě?

k= 200 N/m D l 1 = 20 cm = 0,20 m D l 2 = 5,0 cm = 0,050 m
A 1 = ? A 2 = ?
Rýže. 20.6

Řešení. V tomto případě se směr síly shoduje s posunem, takže práce je pozitivní. Sestavme graf závislosti síly F, natažení pružiny, na velikosti deformace X(obr. 20.6). Práce na místě D l 1 lze vypočítat jako plochu D A 0V:

Práce na místě D l 2 lze vypočítat jako plochu lichoběžníku abeceda, který, jak je známo z geometrie, se rovná součinu poloviny součtu základen a výšky:

.

Podle rozpisu najdeme AB = F 1 = k D l 1 ; CD = F 2 = k(D l 1+D l 2); slunce=D l 2 .

Dosadíme číselné hodnoty:

= ×(2×0,20 m + 0,050 m) ×0,050 m "

Odpověď: A 1 » 4,0 J; A 2 » 2,3 J.

STOP! Rozhodněte se sami: A5, A6, B6, B7, C1.

Problém 20.3. Hromadné zatížení m= 3,0 t se zvedá navijákem se zrychlením A= 2,0 m/s2. Určete práci vykonanou v prvním t = 2,0 s od začátku vzestupu.

3,0 × 10 3 kg × (9,8 m/s 2 + 2,0 m/s 2)

141600 J » 0,14 MJ.

Odpovědět: » 0,14 MJ.

STOP! Rozhodněte se sami: B8, C2.

Problém 20.4. K bloku hmoty ležícímu na vodorovné ploše m= připojená tuhost pružiny 12 kg k= 300 N/m. Součinitel tření mezi tvárnicí a povrchem je m = 0,40. Zpočátku se pružina nedeformuje. Potom pomocí vodorovné síly na volný konec pružiny pomalu posuňte blok o určitou vzdálenost s= 0,40 m. Jakou práci vykonala síla? Akceptovat G= 10 m/s 2.

pak blok zůstane na místě a pružina zůstane protáhnout (obr. 20.8, b). V důsledku toho, než se blok začne pohybovat, síla vykoná práci, aby natáhla pružinu do vzdálenosti D X.

Otázky

1. Jak souvisí potenciální energie tělesa s prací gravitační síly?

2. Jak se mění potenciální energie tělesa při jeho pohybu nahoru?

3. Mění se potenciální energie, když se těleso pohybuje rovnoběžně se zemským povrchem?

4.Co je nulová úroveň?

Cvičení 25

1. Břemeno o hmotnosti 2,5 kg padá z výšky 10 m. Jak moc se změní jeho potenciální energie 1 s po začátku pádu? Počáteční rychlost zátěže je nulová.

2. Jak velkou práci vykoná gravitace, když člověk vážící 75 kg vystoupá po schodech od vchodu do domu do 6. patra, je-li výška každého patra 3 m?

3. Výškový rozdíl mezi místem startu a cílem závodu v alpském lyžování je 400 m. Slalomář akceptuje start a bezpečně dojede. Jakou práci vykoná gravitace, když hmotnost slalomisty před startem je 70 kg?

4. Cíl závodní lyžařské trasy je ve výšce 2000 m nad mořem a místo startu je ve výšce 400 m nad cílem. Jaká je potenciální energie lyžaře na startu vzhledem k cílovému bodu a hladině moře? Váha lyžaře 70 kg.

Elastická síla je síla, která vzniká při deformaci tělesa. Jako příklad pružné síly je vhodné uvažovat elastickou sílu pružiny, ačkoli všechny zákony stanovené pro pružinu platí i pro jiná deformovaná tělesa. Pružná síla je úměrná deformaci, zejména prodloužení pružiny. Je nasměrován ve směru opačném k posunu částic tělesa při deformaci.

Na obrázku 141 A Pružina je zobrazena v přirozeném, nedeformovaném stavu. Pravý konec pružiny je pevný a část těla je připevněna k levému. Nasměrujme souřadnicovou osu X jak je znázorněno na obrázku. Pokud je pružina stlačena posunutím jejího levého konce doprava o určitou vzdálenost X 1, pak se objeví elastická síla (obr. 141.6), směřující doleva. Průmět této síly na osu X rovná - kx 1, Kde k- tuhost pružiny.

Nechme nyní jaro pro sebe. Poté se konec pružiny přesune doleva. Během tohoto pohybu působí elastická síla.

Předpokládejme, že levý konec pružiny (a k němu připojené tělo) se posunul z polohy A do polohy V(obr. 141, c). V této poloze se deformace (prodloužení) pružiny již nerovná x 1, A x 2. Posun konce pružiny se rovná rozdílu souřadnic konce pružiny:

X 1 - X 2.

Směry síly a posunutí se shodují a abyste našli práci, musíte vynásobit moduly pružné síly a posunutí. Ale elastická síla během pohybu se mění z bodu do bodu, protože se mění prodloužení pružiny: v bodě A modul pružné síly je roven kx 1, na místě V- kx2. Chcete-li vypočítat práci pružné síly, musíte vzít průměrnou hodnotu pružné síly a vynásobit ji posunutím:

A = Fcp (xi-x2).

Průměrná hodnota pružné síly se rovná polovině součtu jejích počátečních a konečných hodnot:

(x 1 – x 2)

Protože (x l + x 2) (x 1 - x 2) = x 2 1 - x 2 2, pak se práce ukáže jako rovnocenná

Práce, jak je patrné z tohoto vzorce, závisí pouze na souřadnicích x 1 A x 2 počáteční a konečné pozice konce jara (x 1 A x 2- jedná se jak o prodloužení pružiny, tak o souřadnice jejího konce).

Zajímavé je, že vzorec pro provoz nezahrnuje hmotnost těla připevněného k pružině. Pružná síla však nezávisí na hmotnosti tělesa, na které působí. Již dříve bylo zdůrazněno, že se jedná o vlastnost pružné síly.

Potenciální energie deformovaného tělesa.

Vzorec (1) pro práci pružné síly lze zapsat (přesunutím pořadí členů na pravé straně) v následujícím tvaru:

Zde na pravé straně rovnice

náklady změna množství -2- se znaménkem mínus.

V předchozím odstavci hodnota mgh, jejíž změna (s opačným znaménkem) se rovná práci gravitace, nazýváme potenciální energií zvednutého tělesa. Stejné jméno lze dát

hodnota kx 2 /2 se od její změny a také s opačným znaménkem rovná práci. Hodnota kx 2 /2 představuje potenciální energii deformovaného tělesa, zejména pružiny.

Vzorec (2) to znamená práce pružné síly je rovna změně potenciální energie elasticky deformovaného tělesa (pružiny), brané s opačným znaménkem.

Práce pružné síly, stejně jako práce gravitace, závisí pouze na počátečních a konečných souřadnicích volného konce, například pružiny (od x 1 před x 2). Dá se o ní tedy říci totéž, co o práci gravitace – tato práce nezávisí na tvaru trajektorie. A pokud je trajektorie uzavřená, pak je práce nulová.

Pokud se za počátek souřadnic vezme poloha konce nedeformované pružiny a pružina se prodlouží o X, pak vzorec (2) má tvar:

Ale kx 2 /2 je potenciální energie tělesa (pružiny) během prodlužování X. Prostředek, potenciální energie deformovaného tělesa je rovna práci, kterou vykonala pružná síla při přechodu tělesa (pružiny) do stavu, kdy je jeho deformace nulová. O potenciální energii tělesa ovlivněného gravitací jsme řekli, že se jedná o energii interakce. Potenciální energie elasticky deformovaného tělesa je také interakční energií. Ale teď je to energie interakce mezi částicemi, které tvoří tělo. To platí i pro jaro. Závity pružiny a částice látky, ze které je vyrobena, se v ní vzájemně ovlivňují.

1. Jaká je průměrná hodnota pružné síly?

2. Jaké jsou podobnosti mezi výrazy pro práci pružné síly a práci gravitace?

3. Jakou práci vykoná pružná síla, jestliže se těleso, na které působí, po ujetí určité vzdálenosti vrátí do výchozího bodu?

4. Může mít těleso v rovnovážném stavu potenciální energii?

5. Může mít těleso, na které nepůsobí žádné síly, potenciální energii?

6. Jaká je potenciální energie elasticky deformovaného tělesa?

7. Co mají společné potenciální energie deformovaného tělesa a tělesa podléhajícího gravitaci?

Cvičení 26

1. Chlapec určil, že maximální síla, kterou může siloměr natáhnout, je 400 N. Jakou práci vykoná tato síla při natahování siloměru? Tuhost pružiny dynamometru je 10 000 N/m.

2. Těleso o hmotnosti 18 kg je zavěšeno na pružině, jejíž horní konec je pevný. V tomto případě je délka pružiny 10 cm Když je na ní zavěšeno těleso o hmotnosti 30 kg, je její délka 12 cm Vypočítejte práci, kterou vykoná vnější síla při natažení pružiny z 10 na 15 cm. práce je vykonávána pružnou silou?

3. Obrázek 142 ukazuje graf elastické síly generované při stlačení pružiny v závislosti na její deformaci. Pomocí tohoto grafu vypočítejte práci vykonanou vnější silou, když je pružina stlačena o 2 cm. Dokažte, že tato práce je číselně rovna ploše trojúhelníku AOB.

4. Existují dvě pružiny se stejnou tuhostí. Jedna z nich je stlačena o 5 cm, druhá je natažena o 5 cm Jak se liší prodloužení těchto pružin a jejich potenciální energie?

5. Na pružinové váze je zavěšeno břemeno. Současně klesla zátěž a šipka stupnice se zastavila na čísle 3. O kolik se zvýšila potenciální energie pružiny stupnice, je-li stupnice stupnice odstupňována v Newtonech a vzdálenost mezi sousedními dílky je 5 mm!

5. Stlačená pružina, jejíž tuhost je 10 000 N/m, působí na těleso k ní připojené silou 400 N. Jaká je potenciální energie pružiny? Jak velkou práci vykonala vnější síla při jejím stlačení? Jak velkou práci udělá pružná síla pružiny, pokud dostane příležitost obnovit svůj původní tvar?

Rýže. 142

V každodenním životě se často setkáváme s pojmem jako je práce. Co toto slovo znamená ve fyzice a jak určit práci pružné síly? Odpovědi na tyto otázky se dozvíte v článku.

Mechanické práce

Práce je skalární algebraická veličina, která charakterizuje vztah mezi silou a posunutím. Pokud se směr těchto dvou proměnných shoduje, vypočítá se pomocí následujícího vzorce:

• F- modul vektoru síly, který vykonává práci;
• S- vektorový modul posunutí.

Síla, která působí na těleso, ne vždy funguje. Například práce vykonaná gravitací je nulová, pokud je její směr kolmý na pohyb tělesa.

Pokud vektor síly svírá s vektorem posunutí nenulový úhel, měl by se k určení práce použít jiný vzorec:

A = FScosa

α - úhel mezi vektory síly a posunutí.

Prostředek, mechanická práce je součin průmětu síly na směr posuvu a modulu posuvu, nebo součin průmětu posuvu na směr síly a modulu této síly.

Mechanické práce znamení

V závislosti na směru síly vzhledem k pohybu tělesa může být práce A:

• pozitivní (0°≤ α<90°);
• negativní (90°<α≤180°);
• rovna nule (a=90°).

Je-li A>0, pak se rychlost tělesa zvyšuje. Příkladem je jablko padající ze stromu na zem. U A<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Jednotkou práce SI (Mezinárodní systém jednotek) je Joule (1N*1m=J). Joule je práce vykonaná silou, jejíž hodnota je 1 Newton, když se těleso pohne o 1 metr ve směru síly.

Práce pružné síly

Práce síly se dá určit i graficky. Chcete-li to provést, vypočítejte plochu křivočarého obrazce pod grafem F s (x).

Z grafu závislosti pružné síly na prodloužení pružiny lze tedy odvodit vzorec pro práci pružné síly.

Rovná se:

A=kx 2/2

• k- tuhost;
• X- absolutní prodloužení.

co jsme se naučili?

Mechanická práce se provádí, když na těleso působí síla, která vede k pohybu tělesa. V závislosti na úhlu, který vzniká mezi silou a posunutím, může být práce nulová nebo mít záporné nebo kladné znaménko. Na příkladu pružné síly jste se dozvěděli o grafické metodě určování práce.

« Fyzika - 10. třída"

Vypočítejme práci, kterou vykoná gravitace, když těleso (například kámen) spadne kolmo dolů.

V počátečním okamžiku bylo těleso ve výšce hx nad povrchem Země a v konečném okamžiku - ve výšce h 2 (obr. 5.8). Modul posunu karoserie |Δ| = h1-h2.

Směry gravitačních vektorů T a posunutí Δ se shodují. Podle definice práce (viz vzorec (5.2)) máme

A = | T | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2. (5.12)

Nyní necháme těleso vymrštit svisle vzhůru z bodu ve výšce h 1 nad povrchem Země a dosáhne výšky h 2 (obr. 5.9). Vektory T a Δ jsou směrovány v opačných směrech a modul posunutí |Δ| = h2-h1. Práci gravitace zapíšeme takto:

A = | T | |A|cos180° = -mg(h2 - h1) = mgh1 - mgh2. (5.13)

Pohybuje-li se těleso přímočaře tak, že směr pohybu svírá se směrem gravitace úhel a (obr. 5.10), pak se gravitační práce rovná:

A = | T | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

Z pravoúhlého trojúhelníku BCD je zřejmé, že |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Proto,

A = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2. (5.14)

Tento výraz se shoduje s výrazem (5.12).

Vzorce (5.12), (5.13), (5.14) umožňují povšimnout si důležité zákonitosti. Když se těleso pohybuje po přímce, práce gravitační síly se v každém případě rovná rozdílu mezi dvěma hodnotami veličiny v závislosti na polohách tělesa, určenými výškami h 1 a h 2 nad zemským povrchem. povrch.

Navíc práce, kterou vykoná gravitace při přesunu tělesa o hmotnosti m z jedné polohy do druhé, nezávisí na tvaru trajektorie, po které se těleso pohybuje. Pokud se totiž těleso pohybuje po křivce BC (obr. 5.11), pak, když tuto křivku představíme ve formě stupňovité čáry sestávající z vertikálních a horizontálních úseků krátké délky, uvidíme, že v horizontálních řezech je práce gravitace nula, protože síla je kolmá na pohyb a součet práce ve svislých úsecích se rovná práci, kterou by vykonala gravitace při pohybu tělesa po svislém segmentu délky h 1 - h 2. Práce vykonaná gravitací při pohybu po křivce BC se tedy rovná:

A = mgh 1 - mgh 2.

Práce gravitace nezávisí na tvaru trajektorie, ale závisí pouze na polohách počátečního a koncového bodu trajektorie.

Určeme práci A při pohybu tělesa po uzavřeném obrysu, například po obrysu BCDEB (obr. 5.12). Pracujte A 1 gravitací při pohybu tělesa z bodu B do bodu D po trajektorii BCD: A 1 = mg(h 2 - h 1), po trajektorii DEB: A 2 = mg(h 1 - h 2).

Pak celková práce A = A 1 + A 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

Když se těleso pohybuje po uzavřené trajektorii, je práce vykonaná gravitací nulová.

Práce gravitace tedy nezávisí na tvaru trajektorie těla; je určena pouze počáteční a konečnou polohou těla. Když se těleso pohybuje po uzavřené dráze, práce vykonaná gravitací je nulová.

Síly, jejichž práce nezávisí na tvaru trajektorie bodu působení síly a je rovna nule podél uzavřené trajektorie, se nazývají konzervativní síly.

Gravitace je konzervativní síla.