Jednadžbe s parametrima. Sustavi jednadžbi s parametrom Rješavanje sustava s parametrom online
1. Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom
Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom rješavaju se istim osnovnim metodama kao i obični sustavi jednadžbi: metodom supstitucije, metodom zbrajanja jednadžbi i grafičkom metodom. Poznavanje grafičke interpretacije linearnih sustava olakšava odgovor na pitanje o broju korijena i njihovom postojanju.
Primjer 1.
Nađite sve vrijednosti za parametar a za koje sustav jednadžbi nema rješenja.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
Riješenje.
Pogledajmo nekoliko načina rješavanja ovog zadatka.
1 način. Koristimo svojstvo: sustav nema rješenja ako je omjer koeficijenata ispred x jednak omjeru koeficijenata ispred y, ali nije jednak omjeru slobodnih članova (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Zatim imamo:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ili sustav
(i 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
Iz prve jednadžbe a 2 = 4, dakle, uzimajući u obzir uvjet da je a ≠ 2, dobivamo odgovor.
Odgovor: a = -2.
Metoda 2. Rješavamo metodom zamjene.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
Nakon što izbacimo zajednički faktor y iz zagrada u prvoj jednadžbi, dobivamo:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Sustav nema rješenja ako prva jednadžba nema rješenja, tj
(i 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Očito, a = ±2, ali uzimajući u obzir drugi uvjet, odgovor dolazi samo s odgovorom minus.
Odgovor: a = -2.
Primjer 2.
Nađite sve vrijednosti parametra a za koje sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.
(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.
Riješenje.
Prema svojstvu, ako je omjer koeficijenata x i y isti i jednak je omjeru slobodnih članova sustava, tada on ima beskonačan broj rješenja (tj. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Stoga je 8/a = a/2 = 2/1. Rješavajući svaku od dobivenih jednadžbi, nalazimo da je a = 4 odgovor u ovom primjeru.
Odgovor: a = 4.
2. Sustavi racionalnih jednadžbi s parametrom
Primjer 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Riješenje.
Pomnožimo prvu jednadžbu sustava s 2:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
Oduzimajući drugu jednadžbu od prve, dobivamo 5|x| = 4 – a. Ova jednadžba će imati jedinstveno rješenje za a = 4. U drugim slučajevima, ova će jednadžba imati dva rješenja (za a< 4) или ни одного (при а > 4).
Odgovor: a = 4.
Primjer 4.
Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Riješenje.
Ovaj sustav ćemo riješiti grafičkom metodom. Dakle, graf druge jednadžbe sustava je parabola podignuta duž osi Oy prema gore za jedan jedinični segment. Prva jednadžba specificira skup pravaca paralelnih s pravcem y = -x (slika 1). Sa slike se jasno vidi da sustav ima rješenje ako pravac y = -x + a tangira parabolu u točki s koordinatama (-0,5, 1,25). Zamjenom ovih koordinata u jednadžbu ravne linije umjesto x i y, nalazimo vrijednost parametra a: 
1,25 = 0,5 + a;
Odgovor: a = 0,75.
Primjer 5.
Metodom supstitucije utvrdite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Riješenje.
Iz prve jednadžbe izražavamo y i zamjenjujemo ga u drugu:
(y = sjekira – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.
Svedimo drugu jednadžbu na oblik kx = b, koji će imati jedinstveno rješenje za k ≠ 0. Imamo:
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 prikazujemo kao produkt zagrada
(a + 2)(a + 1), a na lijevoj strani x izvadimo iz zagrade:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).
Očito, a 2 + 3a ne bi trebalo biti jednako nuli, stoga,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, što znači a ≠ 0 i ≠ -3.
Odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.
Primjer 6.
Metodom grafičkog rješenja odredite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Riješenje.
Na temelju uvjeta konstruiramo kružnicu sa središtem u ishodištu i polumjerom od 3 jedinična segmenta, to je ono što je navedeno u prvoj jednadžbi sustava
x 2 + y 2 = 9. Druga jednadžba sustava (y = |x| + a) je izlomljena linija. Pomoću slika 2 Razmatramo sve moguće slučajeve njegovog položaja u odnosu na krug. Lako je vidjeti da je a = 3. 
Odgovor: a = 3.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti sustave jednadžbi?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Jednadžba oblika f(x; a) = 0 se zove jednadžba s varijablom x i parametar A.
Riješite jednadžbu s parametrom A– to znači za svaku vrijednost A pronaći vrijednosti x, zadovoljavajući ovu jednadžbu.
Primjer 1. Oh= 0
Primjer 2. Oh = A
Primjer 3.
x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
Ako 1 – A= 0, tj. A= 1, tada x 0 = -2 bez korijena
Ako 1 – A 0, tj. A 1, dakle x =
Primjer 4.
(A 2 – 1) x = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)x = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)x = (1A – 3)(A – 1)
Ako A= 1, zatim 0 x = 0
x– bilo koji realni broj
Ako A= -1, zatim 0 x = -2
bez korijena
Ako A 1, A-1, dakle x= (jedino rješenje).
To znači da za svaku valjanu vrijednost A odgovara jednoj vrijednosti x.
Na primjer:
Ako A= 5, tada x = = ;
Ako A= 0, tada x= 3, itd.
Didaktički materijal
1. Oh = x + 3
2. 4 + Oh = 3x – 1
3. A = +
na A= 1 nema korijena.
na A= 3 nema korijena.
na A = 1 x– bilo koji realni broj osim x = 1
na A = -1, A= 0 nema rješenja.
na A = 0, A= 2 nema rješenja.
na A = -3, A = 0, 5, A= -2 nema rješenja
na A = -S, S= 0 nema rješenja.
Kvadratne jednadžbe s parametrom
Primjer 1. Riješite jednadžbu
(A – 1)x 2 = 2(2A + 1)x + 4A + 3 = 0
Na A = 1 6x + 7 = 0
Kada A 1, ističemo one vrijednosti parametara pri kojima D ide na nulu.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
Ako A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ako A> -4/5 i A 1, dakle D > 0,
x = 
Ako A= 4/5, dakle D = 0,
Primjer 2. Pri kojim vrijednostima parametra a vrijedi jednadžba
x 2 + 2( A + 1)x + 9A– 5 = 0 ima 2 različita negativna korijena?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
preko t. Vieta: x 1 + x 2 = -2(A + 1)
x 1 x 2 = 9A – 5
Po stanju x 1 < 0, x 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0
| Eventualno | 4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0 |
A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9 |
 (Riža. 1) < a < 1, либо a > 6 |
Primjer 3. Pronađite vrijednosti A, za koju ova jednadžba ima rješenje.
x 2 – 2( A – 1)x + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 ili A – 4 = 0
A = 4
(Riža. 2)
Odgovor: A 0 i A 4
Didaktički materijal
1. U kojoj vrijednosti A jednadžba Oh 2 – (A + 1) x + 2A– 1 = 0 ima jedan korijen?
2. U kojoj vrijednosti A jednadžba ( A + 2) x 2 + 2(A + 2)x+ 2 = 0 ima jedan korijen?
3. Za koje vrijednosti a vrijedi jednadžba ( A 2 – 6A + 8) x 2 + (A 2 – 4) x + (10 – 3A – A 2) = 0 ima više od dva korijena?
4. Za koje vrijednosti a, jednadžba 2 x 2 + x – A= 0 ima barem jedan zajednički korijen s jednadžbom 2 x 2 – 7x + 6 = 0?
5. Za koje vrijednosti jednadžbe a x 2 +Oh+ 1 = 0 i x 2 + x + A= 0 imaju barem jedan zajednički korijen?
1. Kada A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Kada A = 0
3. Kada A = 2
4. Kada A = 10
5. Kada A = - 2
Eksponencijalne jednadžbe s parametrom
Primjer 1.Pronađi sve vrijednosti A, za koju je jednadžba
9 x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) ima točno dva korijena.
Riješenje. Množenjem obje strane jednadžbe (1) s 3 2/x, dobivamo ekvivalentnu jednadžbu
3 2(x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)
Neka je 3 x+1/x = na, tada će jednadžba (2) poprimiti oblik na 2 – (A + 2)na + 2A= 0, ili
(na – 2)(na – A) = 0, odakle na 1 =2, na 2 = A.
Ako na= 2, tj. 3 x+1/x = 2 tada x + 1/x= log 3 2 , ili x 2 – x log 3 2 + 1 = 0.
Ova jednadžba nema prave korijene, budući da je D= log 2 3 2 – 4< 0.
Ako na = A, tj. 3 x+1/x = A Da x + 1/x= dnevnik 3 A, ili x 2 –x log 3 a + 1 = 0. (3)
Jednadžba (3) ima točno dva korijena ako i samo ako
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ili |log 3 a| > 2.
Ako je log 3 a > 2, tada A> 9, a ako je log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Odgovor: 0< A < 1/9, A > 9.
Primjer 2. Pri kojim vrijednostima a vrijedi jednadžba 2 2x – ( A - 3) 2 x – 3 A= 0 ima rješenja?
Da bi data jednadžba imala rješenja potrebno je i dovoljno da jednadžba t 2 – (a – 3) t – 3a= 0 ima barem jedan pozitivan korijen. Nađimo korijene koristeći Vietin teorem: x 1 = -3, x 2 = A = >
a je pozitivan broj.
Odgovor: kada A > 0
Didaktički materijal
1. Pronađite sve vrijednosti a za koje jednadžba
25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 ima točno 2 rješenja.
2. Za koje vrijednosti a je jednadžba
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 ima jedan korijen?
3. Pri kojim vrijednostima parametra a vrijedi jednadžba
4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0 ima jedinstveno rješenje?
Logaritamske jednadžbe s parametrom
Primjer 1. Pronađite sve vrijednosti A, za koju je jednadžba
log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
ima jedinstveno rješenje.
Riješenje. Jednadžba (1) je ekvivalentna jednadžbi
1 + Oh = 2x na x > 0, x 1/4 (3)
x = na
da 2 – na + 1 = 0 (4)
Uvjet (2) iz (3) nije zadovoljen.
Neka A 0, dakle AU 2 – 2na+ 1 = 0 ima prave korijene ako i samo ako D = 4 – 4A 0, tj. na A 1. Da bismo riješili nejednadžbu (3), iscrtajmo funkcije Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljno proučavanje tečaja algebre i matematičke analize. – M.: Obrazovanje, 1990
Bilješka. U navedenom primjeru izračun svih determinanti završio je prikazom u obliku umnoška faktora od kojih je jedan (13) smanjen prilikom dijeljenja. Ova situacija je vrlo česta. Stoga nema potrebe žuriti s umnožavanjem faktora, iako se najčešće ne poništavaju.
Problem 4.4. Riješite sustave jednadžbi koristeći Cramerovo pravilo:
1 + 4x 2 + x 3 = 21 |
1 + x 2 − x 3 = 2 |
2x 1 + x 2 + x 3 = 7 |
||||
3x 2 − 3x3 = 1 |
||||||
1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27 |
3) x1 + 4x2 − 5x3 |
|||||
3x2 + 2x3 = 19 |
− 2x2 + 3x3 = 7 |
|||||
4x1 + 10x2 − x3 |
||||||
Rješavanje navedenih problema pokazuje da Cramerove formule predstavljaju jedinstvenu i prikladnu metodu za pronalaženje rješenja sustava linearnih jednadžbi.
Bilješka: Korištenje Cramerovih formula znatno je pojednostavljeno ako trebate pronaći samo jednu od nepoznanica: u ovom slučaju trebate izbrojati samo dvije determinante.
2.4.4. Sustavi jednadžbi s parametrima
Gore su cijelo vrijeme razmatrani sustavi linearnih algebarskih jednadžbi s fiksnim koeficijentima za nepoznanice i desne strane jednadžbi. U praktičnim problemima vrlo često ti koeficijenti i vrijednosti desnih strana nisu točno poznati. Stoga je potrebno analizirati utjecaj takvih parametara na rješenje sustava.
Primjer 4.5. Istražite ovisnost rješenja sustava jednadžbi
3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b
od parametara a i b.
Ovdje samo desne strane jednadžbi ovise o parametrima. Jer
27 − 40 = − 13 ≠ 0 |
|||||||
Da biste pronašli rješenje, možete koristiti Cramerove formule. Imamo:
∆1 |
9a − 8b, ∆ 2 |
3b−5a |
||||||
x = x |
= ∆ 1 |
9a−8b |
8b−9a |
Y=x |
∆ 2 = |
5a−3b |
||||||||||||||||
− 13 |
||||||||||||||||||||||
Zamjenom se uvjeravamo da je dobiveno rješenje točno: |
||||||||||||||||||||||
8b−9a |
5a−3b |
a(− 27 + 40) |
B(24 − 24) |
|||||||||||||||||||
8b−9a |
5a−3b |
a(− 45 + 45) |
− 27) |
|||||||||||||||||||
Konkretno, ako je a = 11, b = 14 dobivamo: x = |
8×14 − 9×11 |
1 i y = 1. |
||||||||||||||||||||
y(a, b)
x(a, b)
Dakle, svaki par parametara a i b odgovara jedinstvenom paru brojeva x i y koji zadovoljava zadani sustav jednadžbi. To znači da je rješenje sustava jednadžbi uređeni par i dvije funkcije dviju varijabli (parametara a i b). Obje su funkcije definirane za bilo koju vrijednost ovih parametara i linearno ovise o neovisnim varijablama a i b. Osim toga, x monotono raste
funkcija taljenja b i monotono opadajuća funkcija a, |
- obrnuto, |
||||
rastuća funkcija a i monotono padajuća funkcija b. |
|||||
Problem 4.5. Pronađite rješenja sustava jednadžbi |
|||||
8 x + 5 y = 2 a + 1 |
4 x + 9 y = a + b |
9x + 4 god |
|||
3 x + 2 y = a |
3 x + 8 y = 3 a − b |
8 x + 3 god |
|||
te istražiti ovisnost njihova rješenja o parametrima a i b. Preporuka. Nacrtajte dobivena rješenja x (a, b) i y (a, b)
kao funkcije varijabli parametara a i b. Objasnite zašto u svim zadacima rješenja linearno ovise o parametrima a i b.
Primjer 4.6. Istražite ovisnost rješenja sustava jednadžbi
(a + 3) x + 2 ay = 5 |
|||||
od parametara a i b. |
x + 5 y = b |
||||
U ovom primjeru koeficijenti za nepoznanice ovise o parametru |
|||||
a , a desne strane su od parametra b . |
|||||
Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznanice: |
|||||
a + 3 2 |
5(a + 3) − 2a = 3(a + 5) |
||||
Ova determinanta nije jednaka nuli samo kada je a ≠ − 5. Stoga se Cramerove formule mogu koristiti samo kada je a ≠ − 5. U ovom slučaju:
∆1 = |
25 − 2ab , ∆ 2 = |
a+3 |
Ab + 3b − 5 |
|||||||
x = x |
25 − 2ab |
y = x |
3 b − 5 + ab |
|||
3(a+5) |
3(a+5) |
|||||
Razmotrimo zasebno slučaj a = − 5. Tada je izvorni sustav:
− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b
− 5 − c x = c , y = 2
Naravno, postoji proizvoljnost u odabiru vrijednosti bilo koje od nepoznanica, a rješenje se može napisati i u obliku:
x = − 5 2 − 5 c , y = c
Dakle, ovisnost o parametru koeficijenata za nepoznanice izvornog sustava može dovesti do nepostojanja rješenja ili prisutnosti beskonačnog broja rješenja. Otkrivena činjenica je generalizacija onoga što je dosad bilo poznato za jednu jednadžbu ax = b i za sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.
Napomena 1. Uvođenje konstante c u rješenje sustava jednadžbi nalikuje proizvoljnosti u izboru integracijske konstante.
Napomena 2. Razmatrani primjer pokazuje da su, kao i za jednu jednadžbu, za linearne algebarske sustave s velikim brojem jednadžbi i nepoznanica moguća samo tri različita slučaja: jedno rješenje, bez rješenja ili beskonačno mnogo rješenja.
Problem 4.6. Istražite rješenja sustava jednadžbi:
4 x + 5 ay = 2 a |
4 x + 5 ay = 2 a |
4 x + 5 ay = 2 a |
||||
8 x + 10 g |
8 x + 10 g |
8 x + 10 y = b |
||||
Problem 4.7. Osmislite vlastiti sustav dviju algebarskih jednadžbi s dvije nepoznanice i dva parametra i proučite ga ovisno o vrijednostima parametara.
Pitanja za samokontrolu
1) Što je minor determinantnog elementa?
2) Koja je razlika između algebarskog komplementa i sporednog elementa determinante?
3) Što je adjungirana matrica?
4) Kako pronaći adjungiranu matricu za zadanu matricu?
5) Koji je poredak adjungirane matrice?
6) U kojem slučaju ne postoji inverzna matrica?
7) Koja se matrica naziva nesingularnom?
8) U kojim se uvjetima mogu koristiti Cramerove formule?
9) Što je rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi?
10) Koje su determinante uključene u Cramerove formule?
11) Kada determinante ovise o parametrima?
12) Može li umnožak adjungirane matrice i izvorne matrice biti skalarna matrica?
13) Kako preslagivanje faktora utječe na rezultat pri množenju pridružene i izvorne matrice?
14) Što su Cramerove formule?
15) Pod kojim se uvjetima može pronaći rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi pomoću Cramerovog pravila (formule)?
Riješimo sustav jednadžbi s parametrom (A. Larin, opcija 98)
Pronađite sve vrijednosti parametra, za svaku od kojih sustav
ima točno jedno rješenje.
Pogledajmo pobliže sustav. U prvoj jednadžbi sustava lijeva strana je , a desna strana ne ovisi o parametru. Odnosno, ovu jednadžbu možemo smatrati jednadžbom funkcije
i možemo iscrtati ovu funkciju.
Druga jednadžba sustava
ovisi o parametru, a odabirom cijelog kvadrata na lijevoj strani jednadžbe dobivamo jednadžbu kružnice.
Stoga ima smisla iscrtati grafove svake jednadžbe i vidjeti pri kojoj vrijednosti parametra ti grafovi imaju jednu sjecišnu točku.
Počnimo s prvom jednadžbom. Prvo, otvorimo module. Da bismo to učinili, izjednačavamo svaki submodularni izraz s nulom kako bismo pronašli točke u kojima se predznak mijenja.
Prvi submodularni izraz mijenja predznak na , drugi - na .
Nacrtajmo ove točke na koordinatnu liniju i pronađimo predznake svakog submodularnog izraza na svakom intervalu:
Imajte na umu da za i jednadžba nema smisla, pa izbacujemo ove točke.
Sada proširimo module na svaki interval. (Zapamtite: ako je submodularni izraz veći ili jednak nuli, tada modul proširujemo s istim predznakom, a ako je manji od nule, onda sa suprotnim predznakom.)
Oba submodularna izraza su negativna, stoga proširujemo oba modula sa suprotnim predznakom:
To jest, kada izvorna funkcija ima oblik
Na tom intervalu prvi submodularni izraz je negativan, a drugi pozitivan, pa dobivamo:
- funkcija ne postoji na ovom intervalu.
3. title="x>2">!}
Na ovom intervalu oba submodularna izraza su pozitivna, oba modula proširujemo s istim predznakom. Dobivamo:
To jest, s title="x>2"> исходная функция имеет вид !}
Dakle, dobili smo graf funkcije
Sada pogledajmo drugu jednadžbu:
Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani jednadžbe; da biste to učinili, dodajte broj 4 objema stranama jednadžbe:
Za određenu vrijednost parametra, graf ove jednadžbe je kružnica sa središtem u točki s koordinatama čiji je radijus 5. Za različite vrijednosti imamo niz kružnica:
Kružnicu ćemo pomicati odozdo prema gore dok ne dotakne lijevu stranu grafa prve funkcije. Na slici je ovaj krug crven. Središte ove kružnice je točka, njene koordinate su (-2;-3). Nadalje, kada se kreće prema gore, krug ima jednu sjecišnu točku s lijevom stranom grafa funkcije, odnosno sustav ima jedinstveno rješenje.
Kružnicu nastavljamo pomicati prema gore dok ne dotakne desnu stranu grafa prve funkcije. To će se dogoditi kada je središte kruga u točki s koordinatama (-2;0) - na slici je ovaj krug plav.
Pri daljnjem kretanju prema gore kružnica će sijeći i lijevi i desni dio grafa prve funkcije, odnosno kružnica će imati dvije sjecišne točke s grafom prve funkcije, a sustav će imati dva rješenja. Ova situacija se nastavlja sve dok središte kruga ne bude u točki s koordinatama (-2; 5) - ovaj krug je zelen. U ovoj točki krug dodiruje lijevu stranu grafikona i siječe desnu. Odnosno, sustav ima jedno rješenje.
Dakle, sustav ima jedinstveno rješenje kada(-3;0]; ako su vrijednosti parametra a više od jedan, tada će jednadžba imati dva korijena.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe s parametrom?
Dobiti pomoć od učitelja -.
Prvi sat je besplatan!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.
