Консервативни сили. Работа на гравитацията

Помислете за пружината за твърдост к, който първоначално е в неразтегнато (свободно) състояние, което се разтяга от D х(фиг. 20.5) и изчислете работата на еластичната сила.

Според закона на Хук еластичната сила е пропорционална на деформацията на пружината: , където |D х| – величина на деформация. Освен това еластичната сила е насочена противоположно на деформацията на пружината, т.е. .

Нека изградим графика, където х– големината на деформацията (виж фиг. 20.5): това е графика на линейна функция. Ъгълът между и е 180°, така че работата, извършена от еластичната сила, ще бъде отрицателна. Тази работа е числено равна на площта Стриъгълник OAV, но взети със знак минус:

. (22.3)

Читател. Ще се промени ли резултатът, ако пружината не се разтегне, а се свие на разстояние D х?

Задача 20.2.Пролетно разтягане(общ случай). Пружинна твърдост к= 200 N/m първо разтегнато до D л 1 = 20 см, а след това още един на D л 2 = 5,0 см. Каква работа е извършена в първия и втория случай?

к= 200 N/m D л 1 = 20 cm = 0,20 m D л 2 =5,0 cm = 0,050 m
А 1 = ? А 2 = ?
Ориз. 20.6

Решение. В този случай посоката на силата съвпада с преместването, така че работата е положителна. Нека построим графика на зависимостта на силата Е, разтягане на пружината, върху големината на деформацията х(фиг. 20.6). Работа на място D л 1 може да се изчисли като площ D А 0IN:

Работа на място D л 2 може да се изчисли като площ на трапец ABCD, което, както е известно от геометрията, е равно на произведението на половината от сбора на основите и височината:

.

Според графика, който намираме AB = Е 1 = кд л 1 ; CD = Е 2 = к(Д л 1+D л 2); слънце= D л 2 .

Нека заместим числовите стойности:

= ×(2×0,20 m + 0,050 m) ×0,050 m "

Отговор: А 1 » 4,0 J; А 2 » 2,3 J.

СПРИ СЕ! Решете сами: A5, A6, B6, B7, C1.

Задача 20.3. Масово натоварване м= 3,0 t се повдига с лебедка с ускорение А= 2,0 m/s 2 . Определете извършената работа в първия t = 2.0 s от началото на изкачването.

3,0 × 10 3 kg × (9,8 m/s 2 + 2,0 m/s 2)

141600 J » 0,14 MJ.

Отговор: » 0,14 MJ.

СПРИ СЕ! Решете сами: B8, C2.

Задача 20.4.Към блок от маса, лежащ върху хоризонтална повърхност м= 12 kg твърдост на пружината к= 300 N/m. Коефициентът на триене между блока и повърхността е m = 0,40. Първоначално пружината не се деформира. След това, прилагайки хоризонтална сила към свободния край на пружината, бавно премести блока на известно разстояние с= 0,40 м. Каква работа е извършила силата? Приеми ж= 10 m/s 2.

тогава блокът ще остане на място и пружината ще разтягане (фиг. 20.8, b). Следователно, преди блокът да започне да се движи, силата ще извърши работа, за да разтегне пружината до разстояние D х.

Въпроси

1. Как е свързана потенциалната енергия на тялото с работата, извършена от гравитацията?

2. Как се променя потенциалната енергия на тялото, докато се движи нагоре?

3. Променя ли се потенциалната енергия, когато тялото се движи успоредно на повърхността на Земята?

4.Какво е нулево ниво?

Упражнение 25

1. Товар с тегло 2,5 кг пада от височина 10 м. С колко ще се промени потенциалната му енергия 1 s след началото на падането? Началната скорост на товара е нула.

2. Колко работа се извършва от гравитацията, когато човек с тегло 75 kg се изкачи по стълбите от входа на къщата до 6-ия етаж, ако височината на всеки етаж е 3 m?

3. Разликата в надморската височина между стартовата и крайната точка на състезанието по ски алпийски дисциплини е 400 м. Слаломистът приема старта и финишира безопасно. Каква е работата, извършена от гравитацията, ако масата на слаломиста преди старта е 70 kg?

4. Финалната точка на маршрута за ски състезания е на 2000 m надморска височина, а началната точка е на 400 m над финалната точка. Каква е потенциалната енергия на скиора в началото спрямо крайната точка и морското равнище? Тегло на скиора 70 кг.

Еластична сила е силата, която възниква, когато тялото се деформира. Като пример за еластична сила е удобно да се разгледа еластичната сила на пружина, въпреки че всички закони, установени за пружина, важат и за други деформирани тела. Еластичната сила е пропорционална на деформацията, по-специално на удължението на пружината. Тя е насочена в посока, обратна на изместването на частиците на тялото по време на деформация.

На фигура 141, АПружината е показана в естествено, недеформирано състояние. Десният край на пружината е фиксиран, а отляво е прикрепено някакво тяло. Нека насочим координатната ос хкакто е показано на снимката. Ако една пружина се компресира чрез преместване на левия й край надясно на разстояние X 1,тогава се появява еластична сила (фиг. 141.6), насочена наляво. Проекцията на тази сила върху оста хравна на - kx 1,Където к- твърдост на пружината.

Нека сега оставим пролетта сама за себе си. Тогава краят на пружината ще се премести наляво. По време на това движение еластичната сила извършва работа.

Да предположим, че левият край на пружината (и тялото, прикрепено към него) се е преместил от позицията Ана позиция IN(Фиг. 141, c). В това положение деформацията (удължението) на пружината вече не е равна на х 1,А х 2.Преместването на края на пружината е равно на разликата в координатите на края на пружината:

X 1 - X 2.

Посоките на силата и изместването съвпадат и за да намерите работа, трябва да умножите модулите на еластичната сила и изместването. Но еластичната сила по време на движение се променя от точка на точка, защото удължението на пружината се променя: в точка Амодулът на еластичната сила е равен на kx 1,в точката IN- kx2.За да изчислите работата на еластичната сила, трябва да вземете средната стойност на еластичната сила и да я умножите по изместването:

A = F cp (x 1 -x 2).

Средната стойност на еластичната сила е равна на половината от сбора от нейните начална и крайна стойност:

(x 1 - x 2)

защото (x l + x 2)(x 1 - x 2) = x 2 1 - x 2 2,тогава работата се оказва равна

Работата, както се вижда от тази формула, зависи само от координатите х 1И х 2начални и крайни позиции на края на пружината (х 1И х 2- това са както продължението на пружината, така и координатите на нейния край).

Интересното е, че формулата за работа не включва масата на тялото, закрепено към пружината. Но еластичната сила не зависи от масата на тялото, към което е приложена. Вече беше отбелязано по-рано, че това е характеристика на еластичната сила.

Потенциална енергия на деформирано тяло.

Формула (1) за работата на еластичната сила може да бъде записана (чрез пренареждане на реда на членовете от дясната страна) в следния вид:

Тук от дясната страна на уравнението

разходи промянаколичества -2- със знак минус.

В предходния параграф стойността mgh,промяната на която (с обратен знак) е равна на работата на гравитацията, нарекохме потенциална енергия на повдигнатото тяло. Същото име може да се даде на

стойността kx 2 /2, тъй като нейното изменение, а също и с обратен знак, е равно на работа. Стойността kx 2 /2 представлява потенциалната енергия на деформирано тяло, по-специално на пружина.

Формула (2) означава това работата на еластичната сила е равна на изменението на потенциалната енергия на еластично деформирано тяло (пружина), взето с обратен знак.

Работата на еластичната сила, подобно на работата на гравитацията, зависи само от началната и крайната координата на свободния край, например пружина (от х 1преди x 2).Следователно за него може да се каже същото, както и за работата на гравитацията – тази работа не зависи от формата на траекторията. И ако траекторията е затворена, тогава работата е нула.

Ако позицията на края на недеформирана пружина се приеме за начало на координатите и пружината се удължи с Х,тогава формула (2) приема формата:

Но kx 2 /2 е потенциалната енергия на тялото (пружината) по време на удължаване Х.означава, потенциалната енергия на деформирано тяло е равна на работата, извършена от еластичната сила при преминаването на тялото (пружината) в състояние, при което деформацията му е нула.За потенциалната енергия на тяло, засегнато от гравитацията, казахме, че това е енергията на взаимодействие. Потенциалната енергия на еластично деформирано тяло също е енергия на взаимодействие. Но сега това е енергията на взаимодействие между частиците, които изграждат тялото. Това важи и за пролетта. В нея си взаимодействат навивките на пружината и частиците на веществото, от което е направена.

1. Каква е средната стойност на еластичната сила?

2. Какви са приликите между изразите за работата на еластичната сила и работата на гравитацията?

3. Каква е работата, която извършва еластичната сила, ако тялото, върху което тя действа, след като измине известно разстояние, се върне в началната си точка?

4. Може ли тяло в състояние на равновесие да има потенциална енергия?

5. Може ли тяло, върху което не действат никакви сили, да има потенциална енергия?

6. Каква е потенциалната енергия на еластично деформирано тяло?

7. Какво е общото между потенциалните енергии на деформирано тяло и тяло, подложено на гравитация?

Упражнение 26

1. Момчето определи, че максималната сила, с която може да разтегне динамометъра, е 400 N. Каква е работата, извършена от тази сила при разтягане на динамометъра? Коравината на пружината на динамометъра е 10 000 N/m.

2. Тяло с тегло 18 kg е окачено на пружина, чийто горен край е закрепен. В този случай дължината на пружината е 10 см. Когато на нея е окачено тяло с тегло 30 кг, дължината му е 12 см. Изчислете работата, извършена от външната сила при разтягане на пружината от 10 до 15 см. Какво се извършва работа от еластичната сила?

3. Фигура 142 показва графика на еластичната сила, генерирана, когато една пружина е компресирана спрямо нейната деформация. Използвайки тази графика, изчислете работата, извършена от външна сила, когато пружината е компресирана с 2 см. Докажете, че тази работа е числено равна на площта на триъгълника AOB.

4. Има две пружини с еднаква твърдост. Едната от тях е свита с 5 см, другата е разтегната с 5 см. Как се различават удълженията на тези пружини и техните потенциални енергии?

5. Товар е окачен на пружинна везна. В същото време товарът падна и стрелката на скалата спря на цифра 3. С колко се увеличи потенциалната енергия на пружината на скалата, ако скалата е градуирана в нютони, а разстоянието между съседните деления е 5 mm!

5. Сгъната пружина, чиято коравина е 10 000 N/m, действа върху прикрепено към нея тяло със сила 400 N. Каква е потенциалната енергия на пружината? Каква работа е извършила външната сила по време на неговото компресиране? Колко работа ще извърши еластичната сила на пружината, ако й се даде възможност да възстанови първоначалната си форма?

Ориз. 142

В ежедневието често срещаме такова понятие като работа. Какво означава тази дума във физиката и как да се определи работата на еластичната сила? Отговорите на тези въпроси ще намерите в статията.

Механична работа

Работата е скаларна алгебрична величина, която характеризира връзката между сила и преместване. Ако посоката на тези две променливи съвпада, тя се изчислява по следната формула:

• Е- модул на вектора на силата, която извършва работата;
• С- модул за вектор на преместване.

Силата, която действа върху тялото, не винаги върши работа. Например работата, извършена от гравитацията, е нула, ако нейната посока е перпендикулярна на движението на тялото.

Ако векторът на силата образува ненулев ъгъл с вектора на изместване, тогава трябва да се използва друга формула за определяне на работата:

A=FScosα

α - ъгълът между векторите на силата и преместването.

означава, механична работа е произведението на проекцията на силата върху посоката на изместване и модула на изместване или произведението на проекцията на изместването върху посоката на силата и модула на тази сила.

Знак за механична работа

В зависимост от посоката на силата спрямо движението на тялото, работата А може да бъде:

• положителен (0°≤ α<90°);
• отрицателен (90°<α≤180°);
• равно на нула (α=90°).

Ако A>0, тогава скоростта на тялото се увеличава. Пример е ябълка, падаща от дърво на земята. В А<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Единицата за работа SI (Международна система от единици) е джаул (1N*1m=J). Джаул е работата, извършена от сила, чиято стойност е 1 нютон, когато тяло се премести на 1 метър в посоката на силата.

Работа на еластичната сила

Работата на силата може да се определи и графично. За да направите това, изчислете площта на криволинейната фигура под графиката F s (x).

Така от графиката на зависимостта на еластичната сила от удължението на пружината може да се изведе формулата за работата на еластичната сила.

То е равно на:

A=kx 2 /2

• к- твърдост;
• х- абсолютно удължение.

Какво научихме?

Механичната работа се извършва, когато върху тялото се прилага сила, която води до движение на тялото. В зависимост от ъгъла, който възниква между силата и преместването, работата може да бъде нула или да има отрицателен или положителен знак. Използвайки примера за еластична сила, научихте за графичен метод за определяне на работата.

« Физика - 10 клас"

Нека изчислим работата, извършена от гравитацията, когато тяло (например камък) пада вертикално надолу.

В началния момент от време тялото е било на височина hx над повърхността на Земята, а в крайния момент от времето - на височина h 2 (фиг. 5.8). Модул за преместване на тялото |Δ| = h 1 - h 2 .

Посоките на гравитационните вектори T и преместването Δ съвпадат. Според определението за работа (виж формула (5.2)) имаме

A = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2. (5.12)

Сега нека тялото бъде хвърлено вертикално нагоре от точка, разположена на височина h 1 над повърхността на Земята, и то достигне височина h 2 (фиг. 5.9). Векторите T и Δ са насочени в противоположни посоки, а модулът на преместване |Δ| = h 2 - h 1. Записваме работата на гравитацията, както следва:

A = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2. (5.13)

Ако тялото се движи праволинейно, така че посоката на движение да сключва ъгъл a с посоката на гравитацията (фиг. 5.10), тогава работата на гравитацията е равна на:

A = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

От правоъгълния триъгълник BCD е ясно, че |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . следователно

A = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2. (5.14)

Този израз съвпада с израза (5.12).

Формулите (5.12), (5.13), (5.14) позволяват да се забележи важна закономерност. В случай на праволинейно движение на тялото, работата на гравитацията във всеки случай е равна на разликата между две стойности на количеството, в зависимост от позициите на тялото, определени от височините h 1 и h 2 над земната повърхност повърхност.

Освен това работата, извършена от гравитацията при преместване на тяло с маса m от едно положение в друго, не зависи от формата на траекторията, по която се движи тялото. Наистина, ако едно тяло се движи по кривата BC (фиг. 5.11), тогава, представяйки тази крива под формата на стъпаловидна линия, състояща се от вертикални и хоризонтални участъци с малка дължина, ще видим, че в хоризонталните участъци работата на гравитацията е нула, тъй като силата е перпендикулярна на движението и сумата от работата във вертикалните сечения е равна на работата, която гравитацията би извършила при преместване на тяло по вертикален сегмент с дължина h 1 - h 2. По този начин работата, извършена от гравитацията при движение по кривата BC, е равна на:

A = mgh 1 - mgh 2.

Работата на гравитацията не зависи от формата на траекторията, а зависи само от позициите на началната и крайната точка на траекторията.

Нека определим работата А при движение на тяло по затворен контур, например по контура BCDEB (фиг. 5.12). Работа A 1 от гравитацията при преместване на тяло от точка B до точка D по траекторията BCD: A 1 = mg(h 2 - h 1), по траекторията DEB: A 2 = mg(h 1 - h 2).

Тогава общата работа A = A 1 + A 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

Когато тялото се движи по затворена траектория, работата, извършена от гравитацията, е нула.

Така че работата на гравитацията не зависи от формата на траекторията на тялото; определя се само от началните и крайните положения на тялото. Когато тялото се движи по затворен път, работата, извършена от гравитацията, е нула.

Силите, чиято работа не зависи от формата на траекторията на точката на приложение на силата и е равна на нула по затворена траектория, се наричат консервативни сили.

Гравитацията е консервативна сила.