Comment est indiqué le panneau de passage à niveau ? Angle entre des lignes droites sécantes - définition, exemples de découverte
Le cours utilise langage géométrique, composé de notations et de symboles adoptés dans un cours de mathématiques (notamment dans le cours de nouvelle géométrie au lycée).
Toute la variété des désignations et des symboles, ainsi que les liens entre eux, peuvent être divisés en deux groupes :
groupe I - désignations de figures géométriques et relations entre elles ;
groupe II désignations d'opérations logiques qui constituent la base syntaxique du langage géométrique.
Vous trouverez ci-dessous une liste complète des symboles mathématiques utilisés dans ce cours. Une attention particulière est portée aux symboles utilisés pour indiquer les projections de figures géométriques.
Groupe I
SYMBOLES INDIQUANT DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES ET LES RELATIONS ENTRE ELLES
A. Désignation des figures géométriques
1. Une figure géométrique est désignée - F.
2. Les points sont indiqués par des lettres majuscules de l'alphabet latin ou des chiffres arabes :
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Les lignes arbitrairement situées par rapport aux plans de projection sont désignées par des lettres minuscules de l'alphabet latin :
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Les lignes de niveau sont désignées : h - horizontale ; f-avant.
Les notations suivantes sont également utilisées pour les lignes droites :
(AB) - une ligne droite passant par les points A et B ;
[AB) - rayon commençant au point A ;
[AB] - un segment de droite délimité par les points A et B.
4. Les surfaces sont désignées par des lettres minuscules de l'alphabet grec :
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Pour souligner la manière dont une surface est définie, il convient d'indiquer les éléments géométriques par lesquels elle est définie, par exemple :
α(a || b) - le plan α est déterminé par des lignes parallèles a et b ;
β(d 1 d 2 gα) - la surface β est déterminée par les guides d 1 et d 2, le générateur g et le plan de parallélisme α.
5. Les angles sont indiqués :
∠ABC - angle avec le sommet au point B, ainsi que ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Angulaire : la valeur (mesure du degré) est indiquée par le signe placé au-dessus de l'angle :
La grandeur de l'angle ABC ;
La grandeur de l'angle φ.
Un angle droit est marqué d'un carré avec un point à l'intérieur
7. Les distances entre les figures géométriques sont indiquées par deux segments verticaux - ||.
Par exemple:
|AB| - la distance entre les points A et B (longueur du segment AB) ;
|Aa| - distance du point A à la ligne a ;
|Aα| - les distances du point A à la surface α ;
|ab| - distance entre les lignes a et b ;
|αβ| distance entre les surfaces α et β.
8. Pour les plans de projection, les désignations suivantes sont acceptées : π 1 et π 2, où π 1 est le plan de projection horizontal ;
π 2 - plan de projection frontale.
Lors du remplacement de plans de projection ou de l'introduction de nouveaux plans, ces derniers sont désignés π 3, π 4, etc.
9. Les axes de projection sont désignés : x, y, z, où x est l'axe des abscisses ; y - axe des ordonnées ; z - appliquer l'axe.
Le diagramme en ligne droite constante de Monge est noté k.
10. Les projections de points, lignes, surfaces, toute figure géométrique sont indiquées par les mêmes lettres (ou chiffres) que l'original, avec l'ajout d'un exposant correspondant au plan de projection sur lequel elles ont été obtenues :
A", B", C", D", ... , L", M", N", projections horizontales de points ; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... projections frontales de points ; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - projections horizontales de lignes; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... projections frontales de lignes ; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... projections horizontales de surfaces ; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... projections frontales de surfaces.
11. Les traces de plans (surfaces) sont désignées par les mêmes lettres qu'horizontales ou frontales, avec l'ajout de l'indice 0α, soulignant que ces lignes se situent dans le plan de projection et appartiennent au plan (surface) α.
Donc : h 0α - trace horizontale du plan (surface) α ;
f 0α - trace frontale du plan (surface) α.
12. Les traces de lignes droites (lignes) sont indiquées par des lettres majuscules, par lesquelles commencent les mots qui définissent le nom (en transcription latine) du plan de projection que coupe la ligne, avec un indice indiquant l'affiliation avec la ligne.
Par exemple : H a - trace horizontale d'une ligne droite (ligne) a ;
F a - trace frontale de ligne droite (ligne) a.
13. La séquence de points, de lignes (n'importe quelle figure) est marquée par les indices 1,2,3,..., n :
A 1, A 2, A 3,..., A n;
une 1 , une 2 , une 3 ,...,une n ;
α 1, α 2, α 3,...,α n;
Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n, etc.
La projection auxiliaire d'un point, obtenue à la suite d'une transformation pour obtenir la valeur réelle d'une figure géométrique, est désignée par la même lettre avec un indice 0 :
UNE 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Projections axonométriques
14. Les projections axonométriques de points, lignes, surfaces sont désignées par les mêmes lettres que la nature avec l'ajout d'un exposant 0 :
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
une 0 , b 0 , c 0 , ré 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Les projections secondaires sont indiquées en ajoutant un exposant 1 :
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
une 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Pour faciliter la lecture des dessins du manuel, plusieurs couleurs sont utilisées lors de la conception du matériel d'illustration, chacune ayant une certaine signification sémantique : les lignes noires (points) indiquent les données originales ; la couleur verte est utilisée pour les lignes de constructions graphiques auxiliaires ; les lignes rouges (points) montrent les résultats des constructions ou les éléments géométriques auxquels une attention particulière doit être accordée.
| Non, par por. | Désignation | Contenu | Exemple de notation symbolique |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Correspondre | (AB)≡(CD) - une droite passant par les points A et B, coïncide avec la ligne passant par les points C et D |
| 2 | ≅ | Conforme | ∠ABC≅∠MNK - l'angle ABC est congru à l'angle MNK |
| 3 | ∼ | Similaire | ΔАВС∼ΔMNK - les triangles АВС et MNK sont similaires |
| 4 | || | Parallèle | α||β - le plan α est parallèle au plan β |
| 5 | ⊥ | Perpendiculaire | a⊥b - les droites a et b sont perpendiculaires |
| 6 | Croiser | c d - les lignes droites c et d se croisent | |
| 7 | Tangentes | t l - la ligne t est tangente à la ligne l. βα - plan β tangent à la surface α |
|
| 8 | → | Affiché | F 1 → F 2 - la figure F 1 est mappée à la figure F 2 |
| 9 | S | Centre de projection. Si le centre de projection est un point incorrect, alors sa position est indiquée par une flèche, indiquant la direction de projection | - |
| 10 | s | Direction de projection | - |
| 11 | P. | Projection parallèle | р s α Projection parallèle - projection parallèle sur le plan α dans la direction s |
| Non, par por. | Désignation | Contenu | Exemple de notation symbolique | Exemple de notation symbolique en géométrie |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Ensembles | - | - |
| 2 | ABC,... | Éléments de l'ensemble | - | - |
| 3 | { ... } | Comprend... | Ф(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - la figure Ф se compose des points A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Ensemble vide | L - ∅ - l'ensemble L est vide (ne contient pas d'éléments) | - |
| 5 | ∈ | Appartient à, est un élément | 2∈N (où N est l'ensemble des nombres naturels) - le nombre 2 appartient à l'ensemble N | A ∈ a - le point A appartient à la droite a (le point A se trouve sur la ligne a) |
| 6 | ⊂ | Comprend, contient | N⊂M - l'ensemble N fait partie (sous-ensemble) de l'ensemble M de tous les nombres rationnels | a⊂α - la droite a appartient au plan α (entendu au sens : l'ensemble des points de la droite a est un sous-ensemble des points du plan α) |
| 7 | ∪ | Une association | C = A U B - l'ensemble C est une union d'ensembles A et B ; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ligne brisée, ABCD est combinant les segments [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Intersection de plusieurs | M=K∩L - l'ensemble M est l'intersection des ensembles K et L (contient des éléments appartenant à la fois à l'ensemble K et à l'ensemble L). M ∩ N = ∅ - l'intersection des ensembles M et N est l'ensemble vide (les ensembles M et N n'ont pas d'éléments communs) | a = α ∩ β - la droite a est l'intersection plans α et β a ∩ b = ∅ - les lignes a et b ne se coupent pas (n'ai pas de points communs) |
| Non, par por. | Désignation | Contenu | Exemple de notation symbolique |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Conjonction de phrases ; correspond à la conjonction "et". Une phrase (p∧q) est vraie si et seulement si p et q sont tous deux vrais | α∩β = (К:K∈α∧K∈β) L'intersection des surfaces α et β est un ensemble de points (ligne), constitué de tous ceux et seulement de ces points K qui appartiennent à la fois à la surface α et à la surface β |
| 2 | ∨ | Disjonction des peines ; correspond à la conjonction « ou ». Phrase (p∨q) vrai lorsqu'au moins une des phrases p ou q est vraie (c'est-à-dire p ou q, ou les deux). | - |
| 3 | ⇒ | L'implication est une conséquence logique. La phrase p⇒q signifie : « si p, alors q » | (une||c∧b||c)⇒une||b. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles |
| 4 | ⇔ | La phrase (p⇔q) s’entend dans le sens : « si p, alors aussi q si q, alors aussi p » ; | А∈α⇔А∈l⊂α. Un point appartient à un plan s'il appartient à une ligne appartenant à ce plan. L’affirmation inverse est également vraie : si un point appartient à une certaine ligne, appartenant à l'avion, alors il appartient à l'avion lui-même |
| 5 | ∀ | Le quantificateur général s’écrit : pour tout le monde, pour tout le monde, pour n’importe qui. L'expression ∀(x)P(x) signifie : « pour tout x : la propriété P(x) est vraie » | ∀(ΔАВС)( = 180°) Pour tout (pour tout) triangle, la somme des valeurs de ses angles aux sommets est égal à 180° |
| 6 | ∃ | Le quantificateur existentiel s'écrit : existe. L'expression ∃(x)P(x) signifie : « il existe un x qui a la propriété P(x) » | (∀α)(∃a).Pour tout plan α il existe une droite a qui n'appartient pas au plan α et parallèle au plan α |
| 7 | ∃1 | Le quantificateur de l'unicité de l'existence s'écrit : il n'y a qu'un seul (-i, -th)... L'expression ∃1(x)(Рх) signifie : « il n'y a qu'un (un seul) x, ayant la propriété Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Pour deux points différents A et B, il existe une ligne droite unique a, en passant par ces points. |
| 8 | (Px) | Négation de l'énoncé P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b).Si les droites a et b se coupent, alors il n'y a pas de plan a qui les contient |
| 9 | \ | Négation du signe | ≠ -le segment [AB] n'est pas égal au segment .a?b - la ligne a n'est pas parallèle à la ligne b |
Dans cet article, nous définirons d’abord l’angle entre les lignes qui se croisent et fournirons une illustration graphique. Ensuite, nous répondrons à la question : « Comment trouver l'angle entre des lignes qui se croisent si les coordonnées des vecteurs directeurs de ces lignes dans un système de coordonnées rectangulaires sont connues » ? En conclusion, nous nous entraînerons à trouver l’angle entre les lignes qui se croisent lors de la résolution d’exemples et de problèmes.
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Angle entre les lignes droites sécantes - définition.
Nous aborderons progressivement la détermination de l’angle entre les lignes droites qui se croisent.
Rappelons d’abord la définition des lignes obliques : deux lignes dans un espace tridimensionnel sont appelées métissage, s'ils ne se trouvent pas dans le même plan. De cette définition, il s'ensuit que les lignes qui se croisent ne se coupent pas, ne sont pas parallèles et, de plus, ne coïncident pas, sinon elles se trouveraient toutes deux dans un certain plan.
Donnons un raisonnement auxiliaire supplémentaire.
Soit deux droites sécantes a et b dans un espace tridimensionnel. Construisons des lignes droites a 1 et b 1 de sorte qu'elles soient parallèles aux lignes obliques a et b, respectivement, et passent par un point de l'espace M 1 . Ainsi, nous obtenons deux lignes sécantes a 1 et b 1. Soit l'angle entre les lignes sécantes a 1 et b 1 être égal à l'angle . Construisons maintenant les lignes a 2 et b 2, parallèles aux lignes obliques a et b, respectivement, passant par un point M 2, différent du point M 1. L'angle entre les lignes sécantes a 2 et b 2 sera également égal à l'angle. Cette affirmation est vraie, puisque les droites a 1 et b 1 coïncideront respectivement avec les droites a 2 et b 2, si un transfert parallèle est effectué, dans lequel le point M 1 se déplace vers le point M 2. Ainsi, la mesure de l'angle entre deux droites se coupant en un point M, respectivement parallèles aux droites sécantes données, ne dépend pas du choix du point M.
Nous sommes maintenant prêts à définir l’angle entre les lignes qui se croisent.
Définition.
Angle entre les lignes qui se croisent est l'angle entre deux lignes sécantes qui sont respectivement parallèles aux lignes sécantes données.
De la définition, il s'ensuit que l'angle entre les lignes qui se croisent ne dépendra pas non plus du choix du point M. Par conséquent, comme point M, nous pouvons prendre n'importe quel point appartenant à l'une des droites sécantes.
Donnons une illustration de la détermination de l'angle entre les lignes qui se croisent.
Trouver l'angle entre les lignes qui se croisent.
Étant donné que l'angle entre les lignes sécantes est déterminé par l'angle entre les lignes sécantes, la recherche de l'angle entre les lignes sécantes est réduite à la recherche de l'angle entre les lignes sécantes correspondantes dans l'espace tridimensionnel.
Sans aucun doute, les méthodes étudiées dans les cours de géométrie au lycée sont adaptées pour trouver l'angle entre des lignes qui se croisent. Autrement dit, après avoir terminé les constructions nécessaires, vous pouvez relier l'angle souhaité à n'importe quel angle connu à partir de la condition, sur la base de l'égalité ou de la similitude des figures, dans certains cas, cela aidera théorème du cosinus, et conduit parfois au résultat définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle triangle rectangle.
Cependant, il est très pratique de résoudre le problème de la recherche de l'angle entre les lignes qui se croisent à l'aide de la méthode des coordonnées. C'est ce que nous allons considérer.
Laissez Oxyz être introduit dans l'espace tridimensionnel (bien que dans de nombreux problèmes, vous deviez y entrer vous-même).
Fixons-nous une tâche : trouver l'angle entre les lignes qui se croisent a et b, qui correspondent à certaines équations d'une ligne dans l'espace dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz.
Résolvons-le.
Prenons un point arbitraire dans l'espace tridimensionnel M et supposons que des droites a 1 et b 1 le traversent, parallèlement aux droites croisées a et b, respectivement. Ensuite, l'angle requis entre les lignes sécantes a et b est égal à l'angle entre les lignes sécantes a 1 et b 1 par définition.
Ainsi, il suffit de trouver l'angle entre les lignes sécantes a 1 et b 1. Pour appliquer la formule permettant de trouver l'angle entre deux lignes sécantes dans l'espace, nous devons connaître les coordonnées des vecteurs directeurs des lignes a 1 et b 1.
Comment pouvons-nous les obtenir ? C'est très simple. La définition du vecteur directeur d'une droite permet d'affirmer que les ensembles de vecteurs directeurs de droites parallèles coïncident. Par conséquent, les vecteurs directeurs des droites a 1 et b 1 peuvent être pris comme vecteurs directeurs 
Et 
droites a et b respectivement.
Donc, L'angle entre deux lignes sécantes a et b est calculé par la formule 
, Où Et sont les vecteurs directeurs des droites a et b, respectivement.
Formule pour trouver le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent a et b ont la forme 
.
Permet de trouver le sinus de l'angle entre lignes qui se croisent si le cosinus est connu : 
.
Il reste à analyser les solutions aux exemples.
Exemple.
Trouvez l'angle entre les lignes de croisement a et b, qui sont définies dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz par les équations 
Et 
.
Solution.
Les équations canoniques d'une droite dans l'espace permettent de déterminer immédiatement les coordonnées du vecteur directeur de cette droite - elles sont données par les nombres aux dénominateurs des fractions, c'est-à-dire 
. Les équations paramétriques d'une droite dans l'espace permettent également d'écrire immédiatement les coordonnées du vecteur direction - elles sont égales aux coefficients devant le paramètre, c'est-à-dire 
- vecteur direct . Ainsi, nous disposons de toutes les données nécessaires pour appliquer la formule par laquelle l'angle entre les lignes qui se croisent est calculé : 
Répondre:
L'angle entre les lignes sécantes données est égal à .
Exemple.
Trouver le sinus et le cosinus de l'angle entre les lignes croisées sur lesquelles se trouvent les arêtes AD et BC de la pyramide ABCD, si les coordonnées de ses sommets sont connues : .
Solution.
Les vecteurs directeurs des droites qui se croisent AD et BC sont les vecteurs et . Calculons leurs coordonnées comme la différence entre les coordonnées correspondantes des points de fin et de début du vecteur : 
D'après la formule 
nous pouvons calculer le cosinus de l'angle entre les lignes de croisement spécifiées :
Calculons maintenant le sinus de l'angle entre les lignes qui se croisent : 
Symbolisme de la génétique
Le symbolisme est une liste et une explication de noms et de termes conventionnels utilisés dans n'importe quelle branche de la science.
Les bases du symbolisme génétique ont été posées par Gregor Mendel, qui utilisait le symbolisme alphabétique pour désigner des traits. Traits dominantsétaient désignés par des lettres majuscules de l'alphabet latin A, B, C, etc., récessif- en lettres minuscules - a, b, c, etc. Le symbolisme des lettres, proposé par Mendel, est essentiellement une forme algébrique d'expression des lois d'héritage des caractéristiques.
Le symbolisme suivant est utilisé pour indiquer le croisement.
Parents sont désignés par la lettre latine P (Parents - parents), puis leurs génotypes sont inscrits à côté d'eux. Femelle désigné par le symbole ♂ (miroir de Vénus), mâle- ♀ (bouclier et lance de Mars). Un « x » est placé entre les parents pour indiquer le croisement. Le génotype féminin est écrit en premier lieu, et le génotype masculin en second.
D'abord pargenou désigné F1 (Filli - enfants), la deuxième génération - F2, etc. Les désignations des génotypes des descendants sont données à proximité.
Glossaire des termes et concepts de base
Signes alternatifs– des caractéristiques contrastées et mutuellement exclusives.
Gamètes(du grec " gamètes"- conjoint) est une cellule reproductrice d'un organisme végétal ou animal qui porte un gène d'une paire allélique. Les gamètes portent toujours des gènes sous une forme « pure », car ils sont formés par division cellulaire méiotique et contiennent l’un d’une paire de chromosomes homologues.
Gène(du grec " génos"- naissance) est une section d'une molécule d'ADN qui contient des informations sur la structure primaire d'une protéine spécifique.
Gènes alléliques– des gènes appariés situés dans des régions identiques de chromosomes homologues.
Génotype- un ensemble d'inclinations héréditaires (gènes) d'un organisme.
Hétérozygote(du grec " hétéros" - autre et zygote) - un zygote qui a deux allèles différents pour un gène donné ( Aa, Sib).
Homozygote(du grec " homos" - identique et zygote) - un zygote qui possède les mêmes allèles d'un gène donné (à la fois dominants ou tous deux récessifs).
Chromosomes homologués(du grec " homos" - identique) - chromosomes appariés, identiques en forme, taille, ensemble de gènes. Dans une cellule diploïde, l'ensemble des chromosomes est toujours apparié : un chromosome est issu d'une paire d'origine maternelle, le second est d'origine paternelle.
Caractère dominant (gène) – prédominant, manifestant - indiqué en lettres majuscules de l'alphabet latin : UN B, C, etc
Caractère récessif (gène) – le signe supprimé est indiqué par la lettre minuscule correspondante de l'alphabet latin : UN,bAvec etc.
Analyse du croisement– le croisement de l'organisme testé avec un autre, qui est un homozygote récessif pour un caractère donné, ce qui permet d'établir le génotype de la personne testée.
Croisement dihybride– croisement de formes qui diffèrent les unes des autres par deux paires de caractéristiques alternatives.
Traversée monohybride– croisement de formes qui diffèrent les unes des autres par une paire de caractéristiques alternatives.
Phénotype- l'ensemble de tous les signes et propriétés externes d'un organisme accessibles à l'observation et à l'analyse.
ü Algorithme pour résoudre les problèmes génétiques
1. Lisez attentivement le niveau de la tâche.
2. Notez brièvement les conditions problématiques.
3. Enregistrez les génotypes et phénotypes des individus croisés.
4. Identifiez et enregistrez les types de gamètes produits par les individus croisés.
5. Déterminer et enregistrer les génotypes et phénotypes de la progéniture issue du croisement.
6. Analysez les résultats de la traversée. Pour ce faire, déterminez le nombre de classes de progéniture par phénotype et génotype et notez-les sous forme de rapport numérique.
7. Notez la réponse à la question problématique.
(Lors de la résolution de problèmes sur certains sujets, la séquence des étapes peut changer et leur contenu peut être modifié.)
ü Tâches de formatage
1. Il est d'usage d'enregistrer d'abord le génotype de l'individu féminin, puis celui de l'homme ( entrée correcte - ♀ААВВ x ♂аавв ; entrée invalide - ♂aavv x ♀AABB).
2. Les gènes d'une paire allélique sont toujours écrits les uns à côté des autres (entrée correcte - ♀ААВВ ; entrée incorrecte ♀ААВВ).
3. Lors de l'enregistrement d'un génotype, les lettres désignant les traits sont toujours écrites par ordre alphabétique, quel que soit le trait - dominant ou récessif - qu'elles désignent ( entrée correcte - ♀ааВВ; entrée incorrecte -♀ VVaa).
4. Si seul le phénotype d'un individu est connu, alors lors de l'enregistrement de son génotype, seuls les gènes dont la présence est indiscutable sont écrits. Un gène qui ne peut pas être déterminé par phénotype est désigné par un « _ »(par exemple, si la couleur jaune (A) et la forme lisse (B) des graines de pois sont des traits dominants, et que la couleur verte (a) et la forme ridée (c) sont récessives, alors le génotype d'un individu avec des graines jaunes ridées s'écrit ainsi : A_vv).
5. Le phénotype est toujours écrit sous le génotype.
6. Les gamètes s'écrivent en les encerclant (UN).
7. Chez les individus, ce sont les types de gamètes qui sont déterminés et enregistrés, pas leur nombre
entrée correcte entrée incorrecte
♀AA ♀AA
A A A
8. Les phénotypes et types de gamètes sont écrits strictement sous le génotype correspondant.
9. Les progrès dans la résolution du problème sont enregistrés avec une justification pour chaque conclusion et les résultats obtenus.
10. Les résultats du croisement sont toujours caractère probabiliste et sont exprimés soit en pourcentage, soit en fraction d'unité (par exemple, la probabilité de produire une progéniture sensible au charbon est de 50 %, soit ½. Le rapport des classes de progéniture s'écrit sous la forme d'une formule de ségrégation (par exemple, jaune (plantes à graines et à graines vertes dans un rapport 1:1).
Un exemple de résolution et de formatage de problèmes
Tâche. Dans la pastèque, la couleur verte (A) domine la couleur rayée. Déterminer les génotypes et phénotypes de F1 et F2 obtenus en croisant des plantes homozygotes avec des fruits verts et rayés.
Infini.J. Wallis (1655).
Trouvé pour la première fois dans le traité du mathématicien anglais John Valis "On Conic Sections".
La base des logarithmes naturels. L.Euler (1736).
Constante mathématique, nombre transcendantal. Ce numéro est parfois appelé sans plumes en l'honneur des Écossais scientifique Napier, auteur de l'ouvrage « Description de l'étonnante table des logarithmes » (1614). La constante apparaît pour la première fois tacitement dans une annexe à la traduction anglaise de l'ouvrage mentionné ci-dessus de Napier, publiée en 1618. La constante elle-même a été calculée pour la première fois par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli alors qu'il résolvait le problème de la valeur limite des revenus d'intérêts.
2,71828182845904523...
La première utilisation connue de cette constante, où elle était désignée par la lettre b, trouvé dans les lettres de Leibniz à Huygens, 1690-1691. Lettre e Euler a commencé à l'utiliser en 1727, et la première publication avec cette lettre fut son ouvrage « La mécanique, ou la science du mouvement, expliquée analytiquement » en 1736. Respectivement, e habituellement appelé Numéro d'Euler. Pourquoi la lettre a-t-elle été choisie ? e, exactement inconnu. Cela est peut-être dû au fait que le mot commence par exponentiel(« indicatif », « exponentiel »). Une autre hypothèse est que les lettres un, b, c Et d ont déjà été largement utilisés à d'autres fins, et e fut la première lettre « gratuite ».
Le rapport de la circonférence au diamètre. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Constante mathématique, nombre irrationnel. Le nombre "pi", l'ancien nom est le nombre de Ludolph. Comme tout nombre irrationnel, π est représenté comme une fraction décimale infinie non périodique :
=3,141592653589793...
Pour la première fois, la désignation de ce nombre par la lettre grecque π a été utilisée par le mathématicien britannique William Jones dans le livre « A New Introduction to Mathematics », et elle est devenue généralement acceptée après les travaux de Leonhard Euler. Cette désignation vient de la lettre initiale des mots grecs περιφερεια - cercle, périphérie et περιμετρος - périmètre. Johann Heinrich Lambert a prouvé l'irrationalité de π en 1761, et Adrienne Marie Legendre a prouvé l'irrationalité de π 2 en 1774. Legendre et Euler ont supposé que π pouvait être transcendantal, c'est-à-dire ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients entiers, ce qui a finalement été prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.
Unité imaginaire. L. Euler (1777, imprimé - 1794).
On sait que l'équation x2 =1 a deux racines : 1 Et -1 . L'unité imaginaire est l'une des deux racines de l'équation x2 = -1, désigné par une lettre latine je, une autre racine : -je. Cette désignation a été proposée par Leonhard Euler, qui a repris à cet effet la première lettre du mot latin imaginaire(imaginaire). Il a également étendu toutes les fonctions standards au domaine complexe, c'est-à-dire ensemble de nombres représentables comme a+ib, Où un Et b- nombres réels. Le terme « nombre complexe » a été largement utilisé par le mathématicien allemand Carl Gauss en 1831, bien que le terme ait déjà été utilisé dans le même sens par le mathématicien français Lazare Carnot en 1803.
Vecteurs unitaires. W.Hamilton (1853).
Les vecteurs unitaires sont souvent associés aux axes de coordonnées d'un système de coordonnées (en particulier les axes d'un système de coordonnées cartésiennes). Vecteur unitaire dirigé le long de l'axe X, noté je, vecteur unitaire dirigé le long de l'axe Oui, noté j, et le vecteur unitaire dirigé le long de l'axe Z, noté k. Vecteurs je, j, k sont appelés vecteurs unitaires, ils ont des modules unitaires. Le terme « ort » a été introduit par le mathématicien et ingénieur anglais Oliver Heaviside (1892), et la notation je, j, k- Le mathématicien irlandais William Hamilton.
Partie entière du nombre, antie. K. Gauss (1808).
La partie entière du nombre [x] du nombre x est le plus grand entier n'excédant pas x. Donc =5, [-3,6]=-4. La fonction [x] est aussi appelée "antier de x". Le symbole de fonction en partie entière a été introduit par Carl Gauss en 1808. Certains mathématiciens préfèrent utiliser à la place la notation E(x), proposée en 1798 par Legendre.
Angle de parallélisme. N.I. Lobatchevski (1835).
Sur le plan Lobatchevski - l'angle entre la droiteb, en passant par le pointÀ PROPOSparallèle à la ligneun, ne contenant pas de pointÀ PROPOS, et perpendiculaire àÀ PROPOS sur un. α - la longueur de cette perpendiculaire. À mesure que le point s'éloigneÀ PROPOS de la ligne droite unl'angle de parallélisme diminue de 90° à 0°. Lobatchevski a donné une formule pour l'angle de parallélismeP( α )=2arctg e - α /q , Où q— une constante associée à la courbure de l'espace de Lobatchevski.
Quantités inconnues ou variables. R. Descartes (1637).
En mathématiques, une variable est une grandeur caractérisée par l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. Cela peut signifier à la fois une quantité physique réelle, temporairement considérée indépendamment de son contexte physique, et une quantité abstraite qui n'a pas d'analogue dans le monde réel. Le concept de variable est apparu au XVIIe siècle. initialement sous l’influence des exigences des sciences naturelles, qui mettaient au premier plan l’étude du mouvement, des processus et pas seulement des états. Ce concept nécessitait de nouvelles formes pour son expression. Ces nouvelles formes étaient l'algèbre des lettres et la géométrie analytique de René Descartes. Pour la première fois, le système de coordonnées rectangulaires et la notation x, y ont été introduits par René Descartes dans son ouvrage « Discours sur la méthode » en 1637. Pierre Fermat a également contribué au développement de la méthode des coordonnées, mais ses travaux ont été publiés pour la première fois après sa mort. Descartes et Fermat ont utilisé la méthode des coordonnées uniquement sur le plan. La méthode des coordonnées pour l'espace tridimensionnel a été utilisée pour la première fois par Leonhard Euler au XVIIIe siècle.
Vecteur. O. Cauchy (1853).
Dès le début, un vecteur est compris comme un objet qui a une grandeur, une direction et (éventuellement) un point d'application. Les débuts du calcul vectoriel apparaissent avec le modèle géométrique des nombres complexes chez Gauss (1831). Hamilton a publié des opérations développées avec des vecteurs dans le cadre de son calcul du quaternion (le vecteur était formé par les composantes imaginaires du quaternion). Hamilton a proposé le terme vecteur(du mot latin vecteur, transporteur) et décrit quelques opérations d'analyse vectorielle. Maxwell a utilisé ce formalisme dans ses travaux sur l'électromagnétisme, attirant ainsi l'attention des scientifiques sur le nouveau calcul. Bientôt parut Elements of Vector Analysis de Gibbs (années 1880), puis Heaviside (1903) donna à l'analyse vectorielle son aspect moderne. Le signe vectoriel lui-même a été introduit par le mathématicien français Augustin Louis Cauchy en 1853.
Addition soustraction. J. Widman (1489).
Les signes plus et moins ont apparemment été inventés dans l’école mathématique allemande des « Kossistes » (c’est-à-dire des algébristes). Ils sont utilisés dans le manuel de Jan (Johannes) Widmann, A Quick and Pleasant Account for All Merchants, publié en 1489. Auparavant, l'addition était désignée par la lettre p(du latin plus"plus") ou mot latin et(conjonction « et ») et soustraction - lettre m(du latin moins"moins, moins") Pour Widmann, le symbole plus remplace non seulement l’addition, mais aussi la conjonction « et ». L'origine de ces symboles n'est pas claire, mais ils étaient très probablement utilisés auparavant dans le trading comme indicateurs de profits et de pertes. Les deux symboles sont rapidement devenus courants en Europe, à l'exception de l'Italie, qui a continué à utiliser les anciennes désignations pendant environ un siècle.
Multiplication. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Le signe de multiplication en forme de croix oblique a été introduit en 1631 par l'Anglais William Oughred. Avant lui, la lettre était le plus souvent utilisée M, bien que d'autres notations aient également été proposées : le symbole du rectangle (mathématicien français Erigon, 1634), l'astérisque (mathématicien suisse Johann Rahn, 1659). Plus tard, Gottfried Wilhelm Leibniz remplaça la croix par un point (fin XVIIe siècle) pour ne pas la confondre avec la lettre X; avant lui, un tel symbolisme a été trouvé chez l'astronome et mathématicien allemand Regiomontanus (XVe siècle) et le scientifique anglais Thomas Herriot (1560 -1621).
Division. I. Ran (1659), G. Leibniz (1684).
William Oughtred a utilisé une barre oblique / comme signe de division. Gottfried Leibniz a commencé à désigner la division par deux points. Avant eux, la lettre était aussi souvent utilisée D. À partir de Fibonacci, on utilise également la ligne horizontale de la fraction, qui était utilisée par Héron, Diophante et dans les œuvres arabes. En Angleterre et aux États-Unis, le symbole ÷ (obélus), proposé par Johann Rahn (peut-être avec la participation de John Pell) en 1659, s'est répandu. Une tentative du Comité national américain sur les normes mathématiques ( Comité national sur les exigences mathématiques) pour retirer l'obélus de la pratique (1923) n'a pas abouti.
Pour cent. M. de la Porte (1685).
Un centième d'un tout, pris comme une unité. Le mot « pour cent » lui-même vient du latin « pro centum », qui signifie « pour cent ». En 1685, le livre « Manuel d'arithmétique commerciale » de Mathieu de la Porte est publié à Paris. À un endroit, ils parlaient de pourcentages, qui étaient ensuite désignés « cto » (abréviation de cento). Cependant, le compositeur a confondu ce « cto » avec une fraction et a imprimé « % ». Ainsi, en raison d'une faute de frappe, ce signe a été utilisé.
Degrés. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
La notation moderne de l'exposant a été introduite par René Descartes dans son « Géométrie" (1637), cependant, uniquement pour les puissances naturelles dont les exposants sont supérieurs à 2. Plus tard, Isaac Newton étendit cette forme de notation aux exposants négatifs et fractionnaires (1676), dont l'interprétation avait déjà été proposée à cette époque : le mathématicien flamand et l'ingénieur Simon Stevin, le mathématicien anglais John Wallis et le mathématicien français Albert Girard.
Racine arithmétique n-ème puissance d'un nombre réel UN≥0, - nombre non négatif n-le degré dont est égal à UN. La racine arithmétique du 2ème degré s'appelle racine carrée et peut s'écrire sans indiquer le degré : √. Une racine arithmétique du 3ème degré est appelée racine cubique. Les mathématiciens médiévaux (par exemple Cardano) désignaient la racine carrée avec le symbole R x (du latin Base, racine). La notation moderne a été utilisée pour la première fois par le mathématicien allemand Christoph Rudolf, de l'école cossiste, en 1525. Ce symbole vient de la première lettre stylisée du même mot base. Au début, il n'y avait pas de ligne au-dessus de l'expression radicale ; il a ensuite été introduit par Descartes (1637) dans un but différent (au lieu des parenthèses), et cette caractéristique a rapidement fusionné avec le signe racine. Au 16ème siècle, la racine cubique était notée comme suit : R x .u.cu (de lat. Base universelle cubique). Albert Girard (1629) commença à utiliser la notation familière pour une racine d'un degré arbitraire. Ce format a été établi grâce à Isaac Newton et Gottfried Leibniz.
Logarithme, logarithme décimal, logarithme népérien. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Le terme « logarithme » appartient au mathématicien écossais John Napier ( "Description de l'étonnante table des logarithmes", 1614); il est né d'une combinaison des mots grecs λογος (mot, relation) et αριθμος (nombre). Le logarithme de J. Napier est un nombre auxiliaire pour mesurer le rapport de deux nombres. La définition moderne du logarithme a été donnée pour la première fois par le mathématicien anglais William Gardiner (1742). Par définition, le logarithme d'un nombre b basé sur un (un ≠ 1, une > 0) - exposant m, auquel le numéro doit être augmenté un(appelée base du logarithme) pour obtenir b. Désigné connectez-vous un b. Donc, m = enregistrer un b, Si une m = b.
Les premiers tableaux de logarithmes décimaux ont été publiés en 1617 par le professeur de mathématiques d'Oxford Henry Briggs. Par conséquent, à l'étranger, les logarithmes décimaux sont souvent appelés logarithmes de Briggs. Le terme « logarithme naturel » a été introduit par Pietro Mengoli (1659) et Nicholas Mercator (1668), bien que le professeur de mathématiques londonien John Spidell ait compilé un tableau de logarithmes naturels en 1619.
Jusqu'à la fin du XIXe siècle, il n'existait pas de notation généralement acceptée pour le logarithme, base un indiqué à gauche et au-dessus du symbole enregistrer, puis au-dessus. En fin de compte, les mathématiciens sont arrivés à la conclusion que l'endroit le plus pratique pour la base est en dessous de la ligne, après le symbole enregistrer. Le signe du logarithme - résultat de l'abréviation du mot "logarithme" - apparaît sous diverses formes presque simultanément à l'apparition des premières tables de logarithmes, par ex. Enregistrer- par I. Kepler (1624) et G. Briggs (1631), enregistrer- par B. Cavalieri (1632). Désignation dans car le logarithme naturel a été introduit par le mathématicien allemand Alfred Pringsheim (1893).
Sinus, cosinus, tangente, cotangente. W. Outred (milieu du XVIIe siècle), I. Bernoulli (XVIIIe siècle), L. Euler (1748, 1753).
Les abréviations de sinus et cosinus ont été introduites par William Oughtred au milieu du XVIIe siècle. Abréviations de tangente et cotangente : tg, ctg introduits par Johann Bernoulli au XVIIIe siècle, ils se sont répandus en Allemagne et en Russie. Dans d'autres pays, les noms de ces fonctions sont utilisés bronzage, lit bébé proposé par Albert Girard encore plus tôt, au début du XVIIe siècle. Leonhard Euler (1748, 1753) a apporté la théorie des fonctions trigonométriques dans sa forme moderne, et c'est à lui que nous devons la consolidation du symbolisme réel.Le terme « fonctions trigonométriques » a été introduit par le mathématicien et physicien allemand Georg Simon Klügel en 1770.
Les mathématiciens indiens appelaient à l'origine la ligne sinusoïdale "arha jiva"(«demi-corde», c'est-à-dire un demi-accord), puis le mot "archa" a été abandonné et la ligne sinusoïdale a commencé à être appelée simplement "jiva". Les traducteurs arabes n'ont pas traduit le mot "jiva" mot arabe "vatar", désignant une corde d'arc et un accord, et transcrit en lettres arabes et a commencé à appeler la ligne sinusoïdale "jiba". Puisqu'en arabe les voyelles courtes ne sont pas marquées, mais le « i » long dans le mot "jiba" désigné de la même manière que la semi-voyelle « th », les Arabes ont commencé à prononcer le nom de la ligne sinusoïdale "moquerie", qui signifie littéralement « creux », « sinus ». Lors de la traduction d'œuvres arabes en latin, les traducteurs européens traduisaient le mot "moquerie" mot latin sinus, ayant la même signification.Le terme « tangente » (de lat.tangentes- toucher) a été introduit par le mathématicien danois Thomas Fincke dans son livre La Géométrie de la Ronde (1583).
Arcsinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Les fonctions trigonométriques inverses sont des fonctions mathématiques qui sont l'inverse des fonctions trigonométriques. Le nom de la fonction trigonométrique inverse est formé à partir du nom de la fonction trigonométrique correspondante en ajoutant le préfixe « arc » (de Lat. arc- arc).Les fonctions trigonométriques inverses comprennent généralement six fonctions : arc sinus (arcsin), arc cosinus (arccos), arc tangente (arctg), arc cotangente (arcctg), arc sécante (arcsec) et arc cosécante (arccosec). Les symboles spéciaux pour les fonctions trigonométriques inverses ont été utilisés pour la première fois par Daniel Bernoulli (1729, 1736).Manière de désigner des fonctions trigonométriques inverses à l'aide d'un préfixe arc(de lat. arcus, arc) est apparu avec le mathématicien autrichien Karl Scherfer et s'est consolidé grâce au mathématicien, astronome et mécanicien français Joseph Louis Lagrange. Cela signifiait que, par exemple, un sinus ordinaire permettait de trouver une corde qui le sous-tend le long d'un arc de cercle, et que la fonction inverse résout le problème inverse. Jusqu'à la fin du XIXème siècle, les écoles mathématiques anglaises et allemandes proposaient d'autres notations : sin -1 et 1/sin, mais ils ne sont pas largement utilisés.
Sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique. V. Riccati (1757).
Les historiens ont découvert la première apparition des fonctions hyperboliques dans les travaux du mathématicien anglais Abraham de Moivre (1707, 1722). Une définition moderne et une étude détaillée de ceux-ci ont été réalisées par l'Italien Vincenzo Riccati en 1757 dans son ouvrage « Opusculorum », il a également proposé leurs désignations : merde,ch. Riccati est parti de la considération de l'hyperbole unitaire. Une découverte indépendante et une étude plus approfondie des propriétés des fonctions hyperboliques ont été réalisées par le mathématicien, physicien et philosophe allemand Johann Lambert (1768), qui a établi le large parallélisme des formules de la trigonométrie ordinaire et hyperbolique. N.I. Lobatchevski a ensuite utilisé ce parallélisme pour tenter de prouver la cohérence de la géométrie non euclidienne, dans laquelle la trigonométrie ordinaire est remplacée par la trigonométrie hyperbolique.
Tout comme le sinus et le cosinus trigonométriques sont les coordonnées d'un point sur le cercle de coordonnées, le sinus et le cosinus hyperboliques sont les coordonnées d'un point sur une hyperbole. Les fonctions hyperboliques sont exprimées en termes d'exponentielle et sont étroitement liées aux fonctions trigonométriques : sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). Par analogie avec les fonctions trigonométriques, la tangente hyperbolique et la cotangente sont définies comme les rapports du sinus hyperbolique et du cosinus, du cosinus et du sinus, respectivement.
Différentiel. G. Leibniz (1675, publié en 1684).
La partie principale et linéaire de l'incrément de fonction.Si la fonction y=f(x) une variable x a à x=x0dérivée et incrémentΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)les fonctions f(x) peut être représenté sous la formeΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , où est le membre R. infinitésimal par rapport àΔx. Premier membredy=f"(x 0 )Δxdans ce développement et est appelé différentiel de la fonction f(x)à ce pointx0. DANS œuvres de Gottfried Leibniz, Jacob et Johann Bernoulli le mot"différence"était utilisé dans le sens d'« incrément », il était noté par I. Bernoulli via Δ. G. Leibniz (1675, publié en 1684) a utilisé la notation de la « différence infinitésimale »d- la première lettre du mot"différentiel", formé par lui à partir de"différence".
Intégrale indéfinie. G. Leibniz (1675, publié en 1686).
Le mot «intégral» a été utilisé pour la première fois sous forme imprimée par Jacob Bernoulli (1690). Le terme vient peut-être du latin entier- entier. Selon une autre hypothèse, la base était le mot latin intégrateur- ramener à son état antérieur, restaurer. Le signe ∫ est utilisé pour représenter une intégrale en mathématiques et est une représentation stylisée de la première lettre du mot latin. somme - somme. Il a été utilisé pour la première fois par le mathématicien allemand et fondateur du calcul différentiel et intégral, Gottfried Leibniz, à la fin du XVIIe siècle. Un autre des fondateurs du calcul différentiel et intégral, Isaac Newton, n'a pas proposé de symbolisme alternatif pour l'intégrale dans ses œuvres, bien qu'il ait essayé diverses options : une barre verticale au-dessus de la fonction ou un symbole carré devant la fonction ou le borde. Intégrale indéfinie pour une fonction y=f(x) est l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée.
Intégrale définie. J. Fourier (1819-1822).
Intégrale définie d'une fonction f(x) avec une limite inférieure un et limite supérieure b peut être défini comme la différence F(b) - F(une) = une ∫ b f(x)dx , Où F(x)- une primitive d'une fonction f(x) . Intégrale définie une ∫ b f(x)dx numériquement égal à l'aire de la figure délimitée par l'axe des x et les lignes droites x=une Et x=b et le graphique de la fonction f(x). La conception d'une intégrale définie sous la forme que nous connaissons a été proposée par le mathématicien et physicien français Jean Baptiste Joseph Fourier au début du 19e siècle.
Dérivé. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
La dérivée est le concept de base du calcul différentiel, caractérisant le taux de variation d'une fonction. f(x) quand l'argument change X . Elle est définie comme la limite du rapport entre l'incrément d'une fonction et l'incrément de son argument lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro, si une telle limite existe. Une fonction qui a une dérivée finie en un certain point est dite dérivable en ce point. Le processus de calcul de la dérivée est appelé différenciation. Le processus inverse est l’intégration. Dans le calcul différentiel classique, la dérivée est le plus souvent définie à travers les concepts de la théorie des limites, mais historiquement la théorie des limites est apparue plus tard que le calcul différentiel.
Le terme « dérivé » a été introduit par Joseph Louis Lagrange en 1797, la dénotation d'un dérivé par trait est également utilisée par lui (1770, 1779), et jour/dx- Gottfried Leibniz en 1675. La manière de désigner la dérivée temporelle par un point sur une lettre vient de Newton (1691).Le terme russe « dérivée d’une fonction » a été utilisé pour la première fois par un mathématicien russeVassili Ivanovitch Viskovatov (1779-1812).
Dérivée partielle. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Pour les fonctions de plusieurs variables, des dérivées partielles sont définies - des dérivées par rapport à l'un des arguments, calculées en supposant que les arguments restants sont constants. Désignations ∂f/ ∂ X, ∂ z/ ∂ oui introduit par le mathématicien français Adrien Marie Legendre en 1786 ; FX",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801) ; ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ X ∂ oui- dérivées partielles du second ordre - mathématicien allemand Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Différence, incrément. I. Bernoulli (fin XVIIe siècle - première moitié du XVIIIe siècle), L. Euler (1755).
La désignation de l'incrément par la lettre Δ a été utilisée pour la première fois par le mathématicien suisse Johann Bernoulli. Le symbole delta est devenu d'usage général après les travaux de Leonhard Euler en 1755.
Somme. L.Euler (1755).
La somme est le résultat de l'addition de quantités (nombres, fonctions, vecteurs, matrices, etc.). Pour désigner la somme de n nombres a 1, a 2, ..., an, la lettre grecque « sigma » Σ est utilisée : a 1 + a 2 + ... + an = Σ n i=1 a i = Σ n 1 un je. Le signe Σ pour la somme a été introduit par Leonhard Euler en 1755.
Travail. K. Gauss (1812).
Un produit est le résultat d’une multiplication. Pour désigner le produit de n nombres a 1, a 2, ..., an, la lettre grecque pi Π est utilisée : a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Par exemple, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Le signe Π pour un produit a été introduit par le mathématicien allemand Carl Gauss en 1812. Dans la littérature mathématique russe, le terme « produit » a été rencontré pour la première fois par Léonty Filippovich Magnitsky en 1703.
Factorielle. K. Crump (1808).
La factorielle d'un nombre n (notée n!, prononcé « en factoriel ») est le produit de tous les nombres naturels jusqu'à n inclus : n! = 1·2·3·...·n. Par exemple, 5 ! = 1·2·3·4·5 = 120. Par définition, 0 est supposé ! = 1. La factorielle est définie uniquement pour les entiers non négatifs. La factorielle de n est égale au nombre de permutations de n éléments. Par exemple, 3 ! = 6, en effet,
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Les six et seulement six permutations de trois éléments.
Le terme « factoriel » a été introduit par le mathématicien et homme politique français Louis François Antoine Arbogast (1800), la désignation n ! - Le mathématicien français Christian Crump (1808).
Module, valeur absolue. K. Weierstrass (1841).
La valeur absolue d'un nombre réel x est un nombre non négatif défini comme suit : |x| = x pour x ≥ 0, et |x| = -x pour x ≤ 0. Par exemple, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Le module d'un nombre complexe z = a + ib est un nombre réel égal à √(a 2 + b 2).
On pense que le terme « module » a été proposé par le mathématicien et philosophe anglais, élève de Newton, Roger Cotes. Gottfried Leibniz a également utilisé cette fonction, qu'il a appelée « module » et notée : mol x. La notation généralement acceptée de la grandeur absolue a été introduite en 1841 par le mathématicien allemand Karl Weierstrass. Pour les nombres complexes, ce concept a été introduit par les mathématiciens français Augustin Cauchy et Jean Robert Argan au début du XIXe siècle. En 1903, le scientifique autrichien Konrad Lorenz utilisa le même symbolisme pour désigner la longueur d'un vecteur.
Norme. E. Schmidt (1908).
Une norme est une fonctionnelle définie sur un espace vectoriel et généralisant la notion de longueur d'un vecteur ou de module d'un nombre. Le signe « norme » (du mot latin « norma » – « règle », « modèle ») a été introduit par le mathématicien allemand Erhard Schmidt en 1908.
Limite. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), de nombreux mathématiciens (jusqu'au début du XXe siècle)
La limite est l'un des concepts de base de l'analyse mathématique, ce qui signifie qu'une certaine valeur variable en cours de changement considérée se rapproche indéfiniment d'une certaine valeur constante. Le concept de limite a été utilisé intuitivement dans la seconde moitié du XVIIe siècle par Isaac Newton, ainsi que par des mathématiciens du XVIIIe siècle tels que Leonhard Euler et Joseph Louis Lagrange. Les premières définitions rigoureuses de la limite de séquence ont été données par Bernard Bolzano en 1816 et Augustin Cauchy en 1821. Le symbole lim (les 3 premières lettres du mot latin limes - frontière) est apparu en 1787 par le mathématicien suisse Simon Antoine Jean Lhuillier, mais son utilisation ne ressemblait pas encore à celle moderne. L'expression lim, sous une forme plus familière, a été utilisée pour la première fois par le mathématicien irlandais William Hamilton en 1853.Weierstrass a introduit une désignation proche de la désignation moderne, mais au lieu de la flèche familière, il a utilisé un signe égal. La flèche est apparue au début du 20e siècle parmi plusieurs mathématiciens à la fois - par exemple le mathématicien anglais Godfried Hardy en 1908.
Fonction zêta, d Fonction zêta de Riemann. B. Riemann (1857).
Fonction analytique d'une variable complexe s = σ + it, pour σ > 1, déterminée de manière absolue et uniforme par une série de Dirichlet convergente :
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Pour σ > 1, la représentation sous forme de produit d'Euler est valable :
ζ(s) = Π p (1-p -s) -s,
où le produit est repris sur tous les p premiers. La fonction zêta joue un rôle important dans la théorie des nombres.En fonction d'une variable réelle, la fonction zêta a été introduite en 1737 (publiée en 1744) par L. Euler, qui en indiquait l'expansion en produit. Cette fonction a ensuite été envisagée par le mathématicien allemand L. Dirichlet et, avec un succès particulier, par le mathématicien et mécanicien russe P.L. Chebyshev lors de l'étude de la loi de distribution des nombres premiers. Cependant, les propriétés les plus profondes de la fonction zêta ont été découvertes plus tard, après les travaux du mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), où la fonction zêta était considérée comme une fonction d'une variable complexe ; Il a également introduit le nom de « fonction zêta » et la désignation ζ(s) en 1857.
Fonction Gamma, fonction Euler Γ. A. Legendre (1814).
La fonction Gamma est une fonction mathématique qui étend le concept de factorielle au domaine des nombres complexes. Généralement noté Γ(z). La fonction G a été introduite pour la première fois par Leonhard Euler en 1729 ; il est déterminé par la formule :
Γ(z) = limn → ∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).
Un grand nombre d'intégrales, de produits infinis et de sommes de séries sont exprimés via la fonction G. Largement utilisé en théorie analytique des nombres. Le nom « Fonction Gamma » et la notation Γ(z) ont été proposés par le mathématicien français Adrien Marie Legendre en 1814.
Fonction bêta, fonction B, fonction Euler B. J. Binet (1839).
Une fonction de deux variables p et q, définie pour p>0, q>0 par l'égalité :
B(p,q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
La fonction bêta peut être exprimée par la fonction Γ : B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Tout comme la fonction gamma pour les entiers est une généralisation des factorielles, la fonction bêta est, en un sens, une généralisation des coefficients binomiaux.
La fonction bêta décrit de nombreuses propriétésparticules élémentaires participant à forte interaction. Cette caractéristique a été remarquée par le physicien théoricien italienGabriele Veneziano en 1968. Cela a marqué le début la théorie des cordes.
Le nom « fonction bêta » et la désignation B(p, q) ont été introduits en 1839 par le mathématicien, mécanicien et astronome français Jacques Philippe Marie Binet.
Opérateur de Laplace, Laplacien. R. Murphy (1833).
Opérateur différentiel linéaire Δ, qui attribue des fonctions φ(x 1, x 2, ..., x n) de n variables x 1, x 2, ..., x n :
Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.
En particulier, pour une fonction φ(x) d'une variable, l'opérateur de Laplace coïncide avec l'opérateur de la dérivée 2 : Δφ = d 2 φ/dx 2 . L'équation Δφ = 0 est généralement appelée équation de Laplace ; C’est de là que viennent les noms « opérateur de Laplace » ou « Laplacien ». La désignation Δ a été introduite par le physicien et mathématicien anglais Robert Murphy en 1833.
Opérateur de Hamilton, opérateur nabla, Hamiltonien. O. Heaviside (1892).
Opérateur différentiel vectoriel de la forme
∇ = ∂/∂x je+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,
Où je, j, Et k- coordonner les vecteurs unitaires. Les opérations de base de l'analyse vectorielle, ainsi que l'opérateur de Laplace, s'expriment de manière naturelle à travers l'opérateur de Nabla.
En 1853, le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton a introduit cet opérateur et a inventé le symbole ∇ sous la forme d'une lettre grecque inversée Δ (delta). À Hamilton, la pointe du symbole pointait vers la gauche ; plus tard, dans les travaux du mathématicien et physicien écossais Peter Guthrie Tate, le symbole a acquis sa forme moderne. Hamilton a appelé ce symbole « atled » (le mot « delta » lu à l'envers). Plus tard, des érudits anglais, dont Oliver Heaviside, ont commencé à appeler ce symbole « nabla », d'après le nom de la lettre ∇ de l'alphabet phénicien, où il apparaît. L'origine de la lettre est associée à un instrument de musique tel que la harpe, ναβλα (nabla) en grec ancien signifiant « harpe ». L'opérateur s'appelait l'opérateur de Hamilton, ou opérateur nabla.
Fonction. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Un concept mathématique qui reflète la relation entre les éléments d'ensembles. On peut dire qu'une fonction est une « loi », une « règle » selon laquelle chaque élément d'un ensemble (appelé domaine de définition) est associé à un élément d'un autre ensemble (appelé domaine de valeurs). Le concept mathématique de fonction exprime l'idée intuitive de la façon dont une quantité détermine complètement la valeur d'une autre quantité. Souvent, le terme « fonction » fait référence à une fonction numérique ; c'est-à-dire une fonction qui met certains nombres en correspondance avec d'autres. Pendant longtemps, les mathématiciens ont spécifié des arguments sans parenthèses, par exemple comme celui-ci - φх. Cette notation a été utilisée pour la première fois par le mathématicien suisse Johann Bernoulli en 1718.Les parenthèses n'étaient utilisées que dans le cas d'arguments multiples ou si l'argument était une expression complexe. Les enregistrements encore utilisés aujourd'hui font écho à cette époque.péché x, journal xetc. Mais peu à peu l'utilisation des parenthèses, f(x) , est devenue une règle générale. Et le principal mérite en revient à Leonhard Euler.
Égalité. R. Enregistrement (1557).
Le signe égal a été proposé par le médecin et mathématicien gallois Robert Record en 1557 ; le contour du symbole était beaucoup plus long que celui actuel, car il imitait l'image de deux segments parallèles. L’auteur explique qu’il n’y a rien de plus égal au monde que deux segments parallèles de même longueur. Avant cela, dans les mathématiques anciennes et médiévales, l'égalité était notée verbalement (par exemple est égal). Au XVIIe siècle, René Descartes commença à utiliser æ (de lat. égalité), et il a utilisé le signe égal moderne pour indiquer que le coefficient peut être négatif. François Viète utilisait le signe égal pour désigner la soustraction. Le symbole Record ne s'est pas répandu immédiatement. La diffusion du symbole Record a été entravée par le fait que depuis l'Antiquité, le même symbole était utilisé pour indiquer le parallélisme des lignes droites ; Finalement, il a été décidé de rendre le symbole du parallélisme vertical. En Europe continentale, le signe "=" n'a été introduit par Gottfried Leibniz qu'au tournant des XVIIe et XVIIIe siècles, soit plus de 100 ans après la mort de Robert Record, qui l'a utilisé pour la première fois à cette fin.
À peu près égal, à peu près égal. A. Gunther (1882).
Signe " ≈ " a été introduit comme symbole de la relation « à peu près égale » par le mathématicien et physicien allemand Adam Wilhelm Sigmund Günther en 1882.
Plus moins. T. Harriot (1631).
Ces deux signes ont été introduits par l'astronome, mathématicien, ethnographe et traducteur anglais Thomas Harriot en 1631 ; avant cela, les mots « plus » et « moins » étaient utilisés.
Comparabilité. K. Gauss (1801).
La comparaison est une relation entre deux entiers n et m, ce qui signifie que la différence n-m de ces nombres est divisée par un entier donné a, appelé module de comparaison ; il s'écrit : n≡m(mod а) et se lit « les nombres n et m sont comparables modulo a ». Par exemple, 3≡11(mod 4), puisque 3-11 est divisible par 4 ; les nombres 3 et 11 sont comparables modulo 4. Les congruences ont de nombreuses propriétés similaires à celles des égalités. Ainsi, un terme situé dans une partie de la comparaison peut être transféré avec le signe opposé vers une autre partie, et des comparaisons avec le même module peuvent être ajoutées, soustraites, multipliées, les deux parties de la comparaison peuvent être multipliées par le même nombre, etc. . Par exemple,
3≡9+2(mod 4) et 3-2≡9(mod 4)
En même temps de vraies comparaisons. Et à partir d'une paire de comparaisons correctes 3≡11(mod 4) et 1≡5(mod 4), ce qui suit :
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
La théorie des nombres traite des méthodes permettant de résoudre diverses comparaisons, c'est-à-dire méthodes pour trouver des entiers qui satisfont aux comparaisons d’un type ou d’un autre. Les comparaisons modulo ont été utilisées pour la première fois par le mathématicien allemand Carl Gauss dans son livre Arithmetic Studies de 1801. Il a également proposé un symbolisme pour les comparaisons établi en mathématiques.
Identité. B. Riemann (1857).
L'identité est l'égalité de deux expressions analytiques, valables pour toutes les valeurs admissibles des lettres qu'elle contient. L'égalité a+b = b+a est valable pour toutes les valeurs numériques de a et b, et est donc une identité. Pour enregistrer les identités, dans certains cas, depuis 1857, on utilise le signe «≡» (lire «identiquement égal»), dont l'auteur dans cette utilisation est le mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann. Vous pouvez écrire une+b ≡ b+une.
Perpendicularité. P. Érigon (1634).
La perpendiculaire est la position relative de deux lignes droites, plans, ou d'une ligne droite et d'un plan, dans laquelle les figures indiquées forment un angle droit. Le signe ⊥ pour désigner la perpendiculaire a été introduit en 1634 par le mathématicien et astronome français Pierre Erigon. Le concept de perpendiculaire a un certain nombre de généralisations, mais toutes sont généralement accompagnées du signe ⊥.
Parallélisme. W. Outred (édition posthume 1677).
Le parallélisme est la relation entre certaines figures géométriques ; par exemple, droit. Défini différemment selon les différentes géométries ; par exemple, dans la géométrie d'Euclide et dans la géométrie de Lobatchevski. Le signe du parallélisme est connu depuis l'Antiquité, il était utilisé par Héron et Pappus d'Alexandrie. Au début, le symbole était similaire au signe égal actuel (seulement plus étendu), mais avec l'avènement de ce dernier, pour éviter toute confusion, le symbole a été tourné verticalement ||. Il apparaît sous cette forme pour la première fois dans l'édition posthume des travaux du mathématicien anglais William Oughtred en 1677.
Intersection, union. J. Peano (1888).
L'intersection d'ensembles est un ensemble qui contient ceux et seulement ces éléments qui appartiennent simultanément à tous les ensembles donnés. Une union d’ensembles est un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles d’origine. L'intersection et l'union sont également appelées opérations sur des ensembles qui attribuent de nouveaux ensembles à certains selon les règles indiquées ci-dessus. Noté respectivement ∩ et ∪. Par exemple, si
UNE= (♠ ♣ ) Et B= (♣ ♦),
Que
UNE∩B= {♣ }
UNE∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Contient, contient. E. Schröder (1890).
Si A et B sont deux ensembles et qu’il n’y a aucun élément dans A qui n’appartienne à B, alors ils disent que A est contenu dans B. Ils écrivent A⊂B ou B⊃A (B contient A). Par exemple,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Les symboles « contient » et « contient » sont apparus en 1890 par le mathématicien et logicien allemand Ernst Schroeder.
Affiliation. J. Peano (1895).
Si a est un élément de l’ensemble A, alors écrivez a∈A et lisez « a appartient à A ». Si a n’est pas un élément de l’ensemble A, écrivez a∉A et lisez « a n’appartient pas à A ». Au début, les relations « contenu » et « appartient » (« est un élément ») n'étaient pas distinguées, mais au fil du temps, ces concepts ont dû être différenciés. Le symbole ∈ a été utilisé pour la première fois par le mathématicien italien Giuseppe Peano en 1895. Le symbole ∈ vient de la première lettre du mot grec εστι – être.
Quantificateur d'universalité, quantificateur d'existence. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Quantificateur est un nom général pour les opérations logiques qui indiquent le domaine de vérité d'un prédicat (énoncé mathématique). Les philosophes ont longtemps prêté attention aux opérations logiques qui limitent le domaine de vérité d'un prédicat, mais ne les ont pas identifiés comme une classe distincte d'opérations. Bien que les constructions quantificateur-logiques soient largement utilisées dans le discours scientifique et quotidien, leur formalisation n'a eu lieu qu'en 1879, dans le livre du logicien, mathématicien et philosophe allemand Friedrich Ludwig Gottlob Frege « Le calcul des concepts ». La notation de Frege ressemblait à des constructions graphiques encombrantes et n'a pas été acceptée. Par la suite, de nombreux autres symboles à succès furent proposés, mais les notations qui devinrent généralement acceptées furent ∃ pour le quantificateur existentiel (lire « existe », « il existe »), proposé par le philosophe, logicien et mathématicien américain Charles Peirce en 1885, et ∀ pour le quantificateur universel (lire « n'importe lequel », « chacun », « tout le monde »), formé par le mathématicien et logicien allemand Gerhard Karl Erich Gentzen en 1935 par analogie avec le symbole du quantificateur d'existence (premières lettres inversées des mots anglais Existence (existence) et Tout (tout)). Par exemple, enregistrez
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
se lit comme ceci : « pour tout ε>0 il existe δ>0 tel que pour tout x non égal à x 0 et satisfaisant l'inégalité |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Ensemble vide. N. Bourbaki (1939).
Un ensemble qui ne contient pas un seul élément. Le signe de l'ensemble vide a été introduit dans les livres de Nicolas Bourbaki en 1939. Bourbaki est le pseudonyme collectif d'un groupe de mathématiciens français créé en 1935. L'un des membres du groupe Bourbaki était André Weil, l'auteur du symbole Ø.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
En mathématiques, la preuve est comprise comme une séquence de raisonnement construit sur certaines règles, montrant qu'un certain énoncé est vrai. Depuis la Renaissance, la fin d'une preuve est désignée par les mathématiciens par l'abréviation « Q.E.D. », de l'expression latine « Quod Erat Demonstrandum » - « Ce qui devait être prouvé ». Lors de la création du système de configuration informatique ΤΕΧ en 1978, le professeur américain d'informatique Donald Edwin Knuth a utilisé un symbole : un carré plein, appelé « symbole Halmos », du nom du mathématicien américain d'origine hongroise Paul Richard Halmos. Aujourd'hui, l'achèvement d'une preuve est généralement indiqué par le symbole Halmos. En alternative, d'autres signes sont utilisés : un carré vide, un triangle rectangle, // (deux barres obliques), ainsi que l'abréviation russe « ch.t.d ».
